Układy równań liniowych
Wskazówka
<- interaktywna sesja notebooka
from random import choice
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import generator_zadan.generatory as gz
print(gz.__version__)
0.2.11
ile_zadan_przykladowych = 10
Układ Cramera
zadanie = gz.uklad_Cramera(wymiar=choice([2, 3, 4, 5]))
zadanie
('Z układu równań wyznaczyć niewiadomą $x$\n\t\\[\n\t\t\\left\\{\n\t\t\t\\begin{matrix}\n\t\t\t\t2 x - 2 y = -3 \\\\ \n\t\t\t\tx + 2 y = 2 \\\\ \n\t\t\t\\end{matrix}\n\t\t\\right.\n\t\\]',
'$\\det(A) = 6,\\ \\det(A_x)=-2,\\ x = - \\frac{1}{3}$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą $x$
\[
\left\{
\begin{matrix}
2 x - 2 y = -3 \\
x + 2 y = 2 \\
\end{matrix}
\right.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\det(A) = 6,\ \det(A_x)=-2,\ x = - \frac{1}{3}$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.uklad_Cramera(wymiar=choice([2, 3, 4, 5]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].split('$')[0] +
'*' + zadanie[0].split('$')[1].split('$')[0] + '*'))
display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex(zadanie[1].replace('$ \\\\ \n\t$', ',\\quad ').replace('$', '$$')))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą y
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 3 x + y + z = 1 \\
3 x - 3 y + z = 4 \\
- y = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -6,\ \det(A_y)=-6,\ y = 1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą x
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
2 x - 2 y = 2 \\
- 3 x + 2 y = 2 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -2,\ \det(A_x)=8,\ x = -4\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą z
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- x - 2 y - 2 z = 0 \\
2 t + x - 2 y + z = -2 \\
3 t + 3 x + y + 4 z = -3 \\
t - 2 x - 2 y - 3 z = 0 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 7,\ \det(A_z)=2,\ z = \frac{2}{7}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą x
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- t - 2 x - 3 y - 2 z = -2 \\
3 t - x + 3 y + 3 z = -2 \\
4 x + 2 y + 2 z = 0 \\
2 t - 2 x + 2 y + z = 0 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 2,\ \det(A_x)=-8,\ x = -4\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą y
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
2 x - 3 y - z = -1 \\
- x + z = 2 \\
x + y - z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -1,\ \det(A_y)=-1,\ y = 1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą t
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- x - y + z = 3 \\
3 t - 2 u - 3 x - 2 y + 3 z = -3 \\
4 t + 2 u - x + y + 3 z = 2 \\
3 t + 4 u + 2 x - 2 y - 3 z = 0 \\
- t - u - 2 x - 3 y + z = 2 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -2,\ \det(A_t)=9,\ t = - \frac{9}{2}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą x
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
2 x + 2 y = 2 \\
4 x + 2 y = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -4,\ \det(A_x)=6,\ x = - \frac{3}{2}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą y
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 3 x - y = -3 \\
- x - 2 y = -3 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 5,\ \det(A_y)=6,\ y = \frac{6}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą z
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
3 t + 4 u - 3 y + 3 z = 4 \\
t + 4 u + 4 x + 2 y + 2 z = -1 \\
3 t + u - 2 x + 4 y = 1 \\
t + 3 u - x + y - 3 z = -2 \\
t - 3 x + 2 y - 3 z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 9,\ \det(A_z)=2,\ z = \frac{2}{9}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą x
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 3 t + 2 x + 3 y + 3 z = -1 \\
- 2 t - y + 4 z = -3 \\
t + 3 x + 2 y = 3 \\
3 t - 3 y = 1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -9,\ \det(A_x)=-9,\ x = 1\]
***********************************************************************************************
Układ nieoznaczony
zadanie = gz.uklad_rownan_nieoznaczony()
zadanie
('Rozwiązać układ równań.\\ Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania.\\ Jedno rozwiązanie sprawdzić. \n\t\\[\n\t\t\\left\\{\n\t\t\t\\begin{matrix}\n\t\t\t\t- 4 t + x - y + z = -2 \\\\ \n\t\t\t\t3 t + 2 x + y = 0 \\\\ \n\t\t\t\t8 t + x + 2 y - 2 z = -2 \\\\ \n\t\t\t\t- 4 t + 2 x - y + z = -4 \\\\ \n\t\t\t\t4 t - x + y - z = 2 \\\\ \n\t\t\t\\end{matrix}\n\t\t\\right.\n\t\\]',
'$\\left\\{ t = z - 4, \\ x = -2, \\ y = 16 - 3 z\\right\\}$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać układ równań.\ Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania.\ Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[
\left\{
\begin{matrix}
- 4 t + x - y + z = -2 \\
3 t + 2 x + y = 0 \\
8 t + x + 2 y - 2 z = -2 \\
- 4 t + 2 x - y + z = -4 \\
4 t - x + y - z = 2 \\
\end{matrix}
\right.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\left\{ t = z - 4, \ x = -2, \ y = 16 - 3 z\right\}$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.uklad_rownan_nieoznaczony()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\ ', ' ')))
display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex(zadanie[1].replace('$ \\\\ \n\t$', ',\\quad ').replace('$', '$$')))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
5 t - 2 x + 2 y - 3 z = -1 \\
- 3 t + x + 2 z = 4 \\
- 4 t + 2 x - y + 2 z = 0 \\
6 t - 3 x + 2 y - 3 z = 1 \\
- 2 t + x - y + z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = z - 3, \ x = z - 5, \ y = 2\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- t - 2 x - y - 5 z = -6 \\
- 2 t + x - 2 y + 5 z = 3 \\
2 t + 2 x + y + 5 z = 8 \\
t + 2 x + 6 z = 8 \\
x - y + 4 z = 5 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = 2, \ x = 3 - 3 z, \ y = z - 2\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 5 t + 2 x - y - z = -9 \\
3 t + 2 x + y = -2 \\
t + 2 x + y - z = -5 \\
- 8 t - 2 y - z = -7 \\
- 5 t + x - y - z = -7 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = \frac{3}{2} - \frac{z}{2}, \ x = -2, \ y = \frac{3 z}{2} - \frac{5}{2}\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
2 t - 2 x - 2 y = -2 \\
3 t - 3 x - 3 y = -3 \\
- 5 t + 2 x + 3 y + 2 z = -3 \\
4 t - x - 2 y - 2 z = 4 \\
- 4 t + 2 x + 3 y + z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = z + 2, \ x = 2, \ y = z + 1\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- x - 2 y - 4 z = -5 \\
- 2 t - 4 x - y + 5 z = 3 \\
- 5 x - 3 y + z = -4 \\
- t - 6 x - 3 y + 3 z = -2 \\
t + 4 x + 2 y - 2 z = 1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = -1, \ x = 2 z - 1, \ y = 3 - 3 z\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
t - 2 x - z = -2 \\
- t + 2 x + y + z = 1 \\
- t + 2 x + z = 2 \\
- t - x + y - z = -4 \\
- 2 t + 4 x - y + 2 z = 5 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = \frac{4}{3} - \frac{z}{3}, \ x = \frac{5}{3} - \frac{2 z}{3}, \ y = -1\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
4 t - 3 x + y + 2 z = 3 \\
- 5 t + 2 x - 2 y + z = -3 \\
3 t - 2 x + y + z = 2 \\
4 t - 2 x + y = 3 \\
- t + x - z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = z + 1, \ x = 2 z, \ y = -1\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
6 t - 3 x + y - 2 z = -3 \\
- 6 t + x + y + z = -1 \\
- 9 t + 3 x + 2 z = 1 \\
3 t - 2 x + y + z = 2 \\
- 6 t + 3 x - y = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = \frac{y}{3} + \frac{2}{3}, \ x = y + 1, \ z = 2\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
t + x + y + 2 z = -1 \\
- 2 t - x - y - z = 0 \\
5 t + x + 2 y + z = -1 \\
3 t + x + y = 1 \\
5 t + x + 2 y + z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = z + 1, \ x = 2, \ y = - 3 z - 4\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 4 t - 2 x + y + 3 z = -3 \\
8 t + x + y - 3 z = 9 \\
6 t + 3 x - y - 4 z = 4 \\
4 t + x - 2 z = 4 \\
- 4 t - x + 2 z = -4 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = \frac{z}{2} + \frac{3}{2}, \ x = -2, \ y = - z - 1\right\}\]
***********************************************************************************************