Liczby zespolone

Wskazówka

Binder <- interaktywna sesja notebooka

from random import choice

from IPython.display import display, Markdown, Latex

import generator_zadan.generatory as gz

print(gz.__version__)

0.2.11

ile_zadan_przykladowych = 10

Zespolone równanie liniowe

zadanie = gz.rownanie_liniowe()
zadanie

('Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\\ Sprawdzić rozwiązanie.\n\t\\[\n\t\t-6 + 2i+\\left(2 + 9i\\right)z = \\left(4 + 7i\\right)z\n\t\\]',
 '$z=-2 - i.$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\ Sprawdzić rozwiązanie.
	\[
		-6 + 2i+\left(2 + 9i\right)z = \left(4 + 7i\right)z
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$z=-2 - i.$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.rownanie_liniowe()
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\n')[2] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(7 + 3i\right)z = 6 - 2i+\left(7 + 2i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-2 - 6i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 7 + 6i+\left(7 - i\right)z = \left(6 + 3i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=1 - 2i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(5 - 3i\right)z = -6 + 7i+\left(3 - 4i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-1 + 4i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 2 + 2i+\left(4 - 4i\right)z = \left(4 - 5i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-2 + 2i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 5 + 5i+\left(8 + 2i\right)z = \left(7 - i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-2 + i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(3 + 3i\right)z = 2 + 8i+\left(2 + 4i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-3 + 5i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(2 - i\right)z = -6 + 6i+\left(2 + 5i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-1 - i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 3 + 4i+\left(7 - 3i\right)z = \left(5 - 4i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-2 - i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 2 - 4i+\left(7 - 3i\right)z = \left(7 - i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-2 - i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 5 - 5i+\left(5 + 2i\right)z = \left(7 + 3i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=1 - 3i.\]
***********************************************************************************************

Zespolone równanie kwadratowe

zadanie = gz.rownanie_kwadratowe()
zadanie

('Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\\ Sprawdzić jedno z rozwiązań.\n\t\\[\n\t\t\\left(2 - i\\right)z^2 + \\left(-8 + 9 i\\right) z + \\left(5 - 15 i\\right)=0\n\t\\]',
 '$\\Delta = 3-4i, \\quad \\sqrt{\\Delta}=\\pm( 2 - i), \\quad z_{1}=2 - i, \\quad z_{2}=3 - i$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\ Sprawdzić jedno z rozwiązań.
	\[
		\left(2 - i\right)z^2 + \left(-8 + 9 i\right) z + \left(5 - 15 i\right)=0
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\Delta = 3-4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 2 - i), \quad z_{1}=2 - i, \quad z_{2}=3 - i$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.rownanie_kwadratowe()
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\n')[2] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - 2 i\right)z^2 + \left(-8 - 9 i\right) z + \left(-15 + 5 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 3+4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 2 + i), \quad z_{1}=-1 + 2 i, \quad z_{2}=-1 + 3 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 + 2 i\right)z^2 + \left(-4 + 7 i\right) z + \left(-7 + i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 3-4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 2 - i), \quad z_{1}=-1 - 2 i, \quad z_{2}=-1 - i\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(-13 + i\right) z + \left(24 + 16 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8+6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 + i), \quad z_{1}=3 + 2 i, \quad z_{2}=4 + 4 i\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(1 + 13 i\right) z + \left(-26 - 18 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8-6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 - i), \quad z_{1}=2 - 4 i, \quad z_{2}=4 - 3 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - 2 i\right)z^2 + \left(13 - i\right) z + \left(12 + 16 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -8+6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 1 + 3 i), \quad z_{1}=-2 - 2 i, \quad z_{2}=-1 - 3 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(2 - i\right)z^2 + \left(-5 + 10 i\right) z + \left(-2 - 14 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -3+4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 1 + 2 i), \quad z_{1}=2 - 2 i, \quad z_{2}=2 - i\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(-13 - 3 i\right) z + \left(10 + 28 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8+6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 + i), \quad z_{1}=2 + 3 i, \quad z_{2}=3 + 5 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 + 2 i\right)z^2 + \left(-11 - 7 i\right) z + \left(20\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -8-6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 1 - 3 i), \quad z_{1}=2 - 2 i, \quad z_{2}=3 - i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(-1 + 13 i\right) z + \left(-18 - 26 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8+6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 + i), \quad z_{1}=3 - 4 i, \quad z_{2}=4 - 2 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(9 + i\right) z + \left(6 + 12 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8-6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 - i), \quad z_{1}=-3 - 3 i, \quad z_{2}=-1 - 2 i\]
***********************************************************************************************

Pierwiastek zespolony

zadanie = gz.pierwiastek_zespolony(stopien=3, nr_zadania=0)
zadanie

('Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej\n\t\\[\n\t\t\\sqrt[\\leftroot{2}\\uproot{-4} \\displaystyle ^{3}]{\\left(1 - \\sqrt{5} i \\right) \\left(- \\frac{9}{128} - \\frac{9 \\sqrt{5} i}{128} \\right)}\n\t\\]',
 '\t\\begin{tabular}{p{0.5\\textwidth}p{0.3\\textwidth}}\n\t\\[\n\t\t\\sqrt[\\leftroot{2}\\uproot{-4} \\displaystyle ^{3}]{- \\frac{27}{64}}=\n\t\\]\n\t\\[\n\t\t = \\left\\{ - \\frac{3}{4}, \\  \\frac{3}{8} - \\frac{3 \\sqrt{3} i}{8}, \\  \\frac{3}{8} + \\frac{3 \\sqrt{3} i}{8}\\right\\}.\n\t\\]\n\t&\n\t\t\\raisebox{-3cm}{\\resizebox{5.1cm}{!}{\\includegraphics{../pics/rozklad_pierwiastkow0}}}\n\t\\end{tabular}\n')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej
	\[
		\sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(1 - \sqrt{5} i \right) \left(- \frac{9}{128} - \frac{9 \sqrt{5} i}{128} \right)}
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
	\begin{tabular}{p{0.5\textwidth}p{0.3\textwidth}}
	\[
		\sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- \frac{27}{64}}=
	\]
	\[
		 = \left\{ - \frac{3}{4}, \  \frac{3}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}, \  \frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8}\right\}.
	\]
	&
		\raisebox{-3cm}{\resizebox{5.1cm}{!}{\includegraphics{../pics/rozklad_pierwiastkow0}}}
	\end{tabular}

***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.pierwiastek_zespolony(stopien=choice([3,4]), nr_zadania=i)
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    temp = zadanie[1].split('\n\t')[2] + zadanie[1].split('\n\t')[5][4:]
    display(Latex(f'$${temp}$$'))
    display(Markdown(f'![](./pics//rozklad_pierwiastkow{i}.png)'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(- \frac{9}{128} - \frac{9 \sqrt{5} i}{128} \right) \left(1 - \sqrt{5} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- \frac{27}{64}}=\left\{ - \frac{3}{4}, \ \frac{3}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}, \ \frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8}\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(1 - \sqrt{2} i \right) \left(9 \sqrt{2} - 9 i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- 27 i}=\left\{ 3 i, \ - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}, \ \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3 i}{2}\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(1 - \sqrt{2} i \right) \left(- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3} \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-4}=\left\{ -1 - i, \ -1 + i, \ 1 - i, \ 1 + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(\frac{40}{13} + \frac{24 \sqrt{3} i}{13} \right) \left(1 + 2 \sqrt{3} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-8 + 8 \sqrt{3} i}=\left\{ -1 + \sqrt{3} i, \ 1 - \sqrt{3} i, \ - \sqrt{3} - i, \ \sqrt{3} + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(\frac{16}{27} + \frac{16 \sqrt{3} i}{27} \right) \left(-1 + \sqrt{3} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- \frac{64}{27}}=\left\{ - \frac{4}{3}, \ \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt{3} i}{3}, \ \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{3} i}{3}\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(\frac{64}{81} + \frac{64 \sqrt{2} i}{81} \right) \left(1 - \sqrt{2} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\frac{64}{27}}=\left\{ \frac{4}{3}, \ - \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt{3} i}{3}, \ - \frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{3} i}{3}\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(- \frac{4 \sqrt{6}}{3} - \frac{4}{3} + i \left(- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}\right) \right) \left(2 - 2 \sqrt{2} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-8 + 8 \sqrt{3} i}=\left\{ -1 + \sqrt{3} i, \ 1 - \sqrt{3} i, \ - \sqrt{3} - i, \ \sqrt{3} + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(1 - \sqrt{3} i \right) \left(16 \sqrt{3} - 16 i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- 64 i}=\left\{ 4 i, \ - 2 \sqrt{3} - 2 i, \ 2 \sqrt{3} - 2 i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(1 - \sqrt{3} i \right) \left(\frac{27 \sqrt{3}}{256} - \frac{27 i}{256} \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- \frac{27 i}{64}}=\left\{ \frac{3 i}{4}, \ - \frac{3 \sqrt{3}}{8} - \frac{3 i}{8}, \ \frac{3 \sqrt{3}}{8} - \frac{3 i}{8}\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(1 - \sqrt{3} i \right) \left(\frac{27}{256} + \frac{27 \sqrt{3} i}{256} \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\frac{27}{64}}=\left\{ \frac{3}{4}, \ - \frac{3}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}, \ - \frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8}\right\}.\]

***********************************************************************************************

Równanie zespolone ze sprzężeniem

zadanie = gz.rownanie_ze_sprzezeniem(calkowite=choice([False, True]), kwadratowe=choice([False, True]))
zadanie

('Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych\n\t\\[\n\t\tz^{2} + 2 \\overline{z} + 1 = 0\n\t\\]',
 '$2 x - 2 i y + \\left(x + i y\\right)^{2} + 1 = 0,$ \\\\ \n$x^{2} + 2 i x y + 2 x - y^{2} - 2 i y + 1 = 0,$\\\\\n$\\left\\{\n\t\\begin{array}{c}\n\t\tx^{2} + 2 x - y^{2} + 1 = 0\\\\\n\t\t2 x y - 2 y = 0\n\t\\end{array}\n\\right.$ \\\\\n$z = \\left[ \\left\\{ x : -1, \\  y : 0\\right\\}, \\  \\left\\{ x : 1, \\  y : -2\\right\\}, \\  \\left\\{ x : 1, \\  y : 2\\right\\}\\right].$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych
	\[
		z^{2} + 2 \overline{z} + 1 = 0
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$2 x - 2 i y + \left(x + i y\right)^{2} + 1 = 0,$ \\ 
$x^{2} + 2 i x y + 2 x - y^{2} - 2 i y + 1 = 0,$\\
$\left\{
	\begin{array}{c}
		x^{2} + 2 x - y^{2} + 1 = 0\\
		2 x y - 2 y = 0
	\end{array}
\right.$ \\
$z = \left[ \left\{ x : -1, \  y : 0\right\}, \  \left\{ x : 1, \  y : -2\right\}, \  \left\{ x : 1, \  y : 2\right\}\right].$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.rownanie_ze_sprzezeniem(calkowite=choice([False, True]), kwadratowe=choice([False, True]))
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\n')[2] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    rozwiazanie = zadanie[1].replace('$ \\\\ \n$', ' $ ').replace('$\\\\\n$', ' $ ').replace('$ \\\\\n$', ' $ ').split(
        '$')
    for i in range(1, len(rozwiazanie) - 1):
        display(Latex('$$' + rozwiazanie[i] + '$$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(-4 - i\right) + \left(4 + 5 i\right) \overline{z} + 6 + 6 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(4 + 5 i\right) \left(x - i y\right) + \left(-4 - i\right) \left(x + i y\right) + 6 + 6 i = 0, \]
\[ 2 i \left(2 x + y \left(-4 - 3 i\right) + 3 - 3 i\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} 6 y + 6 = 0\\ 4 x - 8 y + 6 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : - \frac{7}{2}, \ y : -1\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(6 - 4 i\right) + \left(5 - 2 i\right) \overline{z} - 4 - 2 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(5 - 2 i\right) \left(x - i y\right) + \left(6 - 4 i\right) \left(x + i y\right) - 4 - 2 i = 0, \]
\[ x \left(11 - 6 i\right) + y \left(2 + i\right) - 4 - 2 i = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} 11 x + 2 y - 4 = 0\\ - 6 x + y - 2 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : 0, \ y : 2\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(-3 - 3 i\right) + \left(-4 + i\right) \overline{z} + 1 + 2 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(-4 + i\right) \left(x - i y\right) + \left(-3 - 3 i\right) \left(x + i y\right) + 1 + 2 i = 0, \]
\[ - i \left(x \left(2 - 7 i\right) + y \left(-1 + 4 i\right) - 2 + i\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} - 7 x + 4 y + 1 = 0\\ - 2 x + y + 2 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : 7, \ y : 12\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(-6 - 5 i\right) + \left(4 + 2 i\right) \overline{z} + 4 + 6 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(4 + 2 i\right) \left(x - i y\right) + \left(-6 - 5 i\right) \left(x + i y\right) + 4 + 6 i = 0, \]
\[ - i \left(x \left(3 - 2 i\right) + y \left(10 + 7 i\right) - 6 + 4 i\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} - 2 x + 7 y + 4 = 0\\ - 3 x - 10 y + 6 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : 2, \ y : 0\right\}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} - 4 \overline{z} + 7 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- 4 x + 4 i y + \left(x + i y\right)^{2} + 7 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y - 4 x - y^{2} + 4 i y + 7 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} - 4 x - y^{2} + 7 = 0\\ 2 x y + 4 y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -2, \ y : - \sqrt{19}\right\}, \ \left\{ x : -2, \ y : \sqrt{19}\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(3 - 3 i\right) + \left(4 + 2 i\right) \overline{z} - 4 + 2 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(4 + 2 i\right) \left(x - i y\right) + \left(3 - 3 i\right) \left(x + i y\right) - 4 + 2 i = 0, \]
\[ \left(1 + i\right) \left(x \left(3 - 4 i\right) + y \left(2 - 3 i\right) - 1 + 3 i\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} 7 x + 5 y - 4 = 0\\ - x - y + 2 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : -3, \ y : 5\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(-3 - 3 i\right) + \left(1 + 4 i\right) \overline{z} + 7 - 6 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(1 + 4 i\right) \left(x - i y\right) + \left(-3 - 3 i\right) \left(x + i y\right) + 7 - 6 i = 0, \]
\[ - x \left(2 - i\right) - y \left(-7 + 4 i\right) + 7 - 6 i = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} - 2 x + 7 y + 7 = 0\\ x - 4 y - 6 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : -14, \ y : -5\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} - 4 \overline{z} - 5 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- 4 x + 4 i y + \left(x + i y\right)^{2} - 5 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y - 4 x - y^{2} + 4 i y - 5 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} - 4 x - y^{2} - 5 = 0\\ 2 x y + 4 y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -2, \ y : - \sqrt{7}\right\}, \ \left\{ x : -2, \ y : \sqrt{7}\right\}, \ \left\{ x : -1, \ y : 0\right\}, \ \left\{ x : 5, \ y : 0\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(2 - 2 i\right) + \left(6 + 4 i\right) \overline{z} + 6 - 4 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(6 + 4 i\right) \left(x - i y\right) + \left(2 - 2 i\right) \left(x + i y\right) + 6 - 4 i = 0, \]
\[ 2 i \left(x \left(1 - 4 i\right) + y \left(-2 - 3 i\right) - 2 - 3 i\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} 8 x + 6 y + 6 = 0\\ 2 x - 4 y - 4 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : 0, \ y : -1\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} - \overline{z} - 6 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- x + i y + \left(x + i y\right)^{2} - 6 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y - x - y^{2} + i y - 6 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} - x - y^{2} - 6 = 0\\ 2 x y + y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -2, \ y : 0\right\}, \ \left\{ x : 3, \ y : 0\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

Obszar zespolony

zadanie = gz.obszar_zespolony(typ=choice([1, 2, 3, 4, 5]), nr_zadania=1)
zadanie

('Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki\n\t\\[\n\t\t\\left|z+3 - 3 i\\right| \\leq 1\n \t\t\\quad \\textnormal{oraz} \\quad\n\t\t\\left|z+1 - 3 i\\right| \\leq \\frac{3}{2}\n\t\\]',
 '\t\\begin{tabular}{p{0.4\\textwidth}p{0.3\\textwidth}}\n\t\\begin{gather*}\n\t\t\\left(x + 3\\right)^{2} + \\left(y - 3\\right)^{2} \\leq 1\\\\\n\t\t\\left(x + 1\\right)^{2} + \\left(y - 3\\right)^{2} \\leq \\frac{9}{4}\n\t\\end{gather*}\t\t\n\t&\n\t\t\\raisebox{-3.1cm}{\\resizebox{4cm}{!}{\\includegraphics{../pics/obszar1}}}\n\t\\end{tabular}\n')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki
	\[
		\left|z+3 - 3 i\right| \leq 1
 		\quad \textnormal{oraz} \quad
		\left|z+1 - 3 i\right| \leq \frac{3}{2}
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
	\begin{tabular}{p{0.4\textwidth}p{0.3\textwidth}}
	\begin{gather*}
		\left(x + 3\right)^{2} + \left(y - 3\right)^{2} \leq 1\\
		\left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 3\right)^{2} \leq \frac{9}{4}
	\end{gather*}		
	&
		\raisebox{-3.1cm}{\resizebox{4cm}{!}{\includegraphics{../pics/obszar1}}}
	\end{tabular}

***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.obszar_zespolony(typ=choice([1, 2, 3, 4, 5]), nr_zadania=i)
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$$\\begin{gather*}' + zadanie[1].split('{gather*}')[1] + '{gather*}$$'))
    display(Markdown(f'![](./pics//obszar{i}.png)'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z+2 + 2 i\right| = 2 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x + 2\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2} = 4 \end{gather*}\]

***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z+3 + i\right| \geq 3 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x + 3\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2}\geq9 \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \frac{1}{2}\leq \left|z-2 + i\right| < 2 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} \left(x - 2\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2}\geq\frac{1}{4}\\ \left(x - 2\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2}<4 \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki

\[ 1< \left|z \right| < 3 \quad \textnormal{oraz} \quad - \frac{\pi}{4} < \arg(z) \leq - \frac{\pi}{6} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} 1 < x^{2} + y^{2}<9\\ - \frac{\pi}{4} < \varphi \leq - \frac{\pi}{6} \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z-1 - 3 i\right| \leq 2 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 3\right)^{2}\leq4 \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z+2 + i\right| = \frac{3}{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x + 2\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = \frac{9}{4} \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki

\[ 1\leq \left|z \right| \leq 5 \quad \textnormal{oraz} \quad - \frac{\pi}{6} \leq \arg(z) \leq \frac{\pi}{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} 1\leq x^{2} + y^{2}\leq25\\ - \frac{\pi}{6} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki

\[ 2< \left|z \right| < \frac{5}{2} \quad \textnormal{oraz} \quad - \frac{\pi}{3} \leq \arg(z) \leq \pi \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} 4 < x^{2} + y^{2}<\frac{25}{4}\\ - \frac{\pi}{3} \leq \varphi \leq \pi \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \frac{1}{2}< \left|z+1 - 3 i\right| \leq \frac{3}{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} \left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 3\right)^{2}>\frac{1}{4}\\ \left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 3\right)^{2}\leq\frac{9}{4} \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z-1 + 2 i\right| > \frac{5}{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x - 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2}>\frac{25}{4} \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza - działania

zadanie = gz.dzialania_zespolone()
zadanie

('Obliczyć\n\t\\[\n\t\t\\frac{\\left(3 - 3 \\sqrt{3} i\\right)\\left(1 + \\frac{\\sqrt{3} i}{3}\\right)}{2 - \\frac{2 \\sqrt{3} i}{3}} + \\frac{5\\left(\\cos\\left(\\pi\\right) + i \\, \\sin\\left(\\pi\\right)\\right)\\cdot 2\\left(\\cos\\left(- \\frac{5 \\pi}{6}\\right) + i \\, \\sin\\left(- \\frac{5 \\pi}{6}\\right)\\right)}{4\\left(\\cos\\left(\\frac{5 \\pi}{6}\\right) + i \\, \\sin\\left(\\frac{5 \\pi}{6}\\right)\\right)} - \\frac{3\\,e^{\\pi\\, i}\\cdot 5\\,e^{- \\frac{\\pi}{2}\\, i}}{5\\,e^{\\frac{5 \\pi}{6}\\, i}}. \n\t\\]\n\tWynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.',
 '$\\frac{1}{4} + \\frac{\\sqrt{3} i}{4}, \\qquad \\frac{1}{2} \\left(\\cos\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right) + i\\,\\sin\\left(\\frac{\\pi}{3}\\right)\\right), \\qquad \\frac{1}{2} e^{\\frac{\\pi}{3}\\,i}$ ')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć
	\[
		\frac{\left(3 - 3 \sqrt{3} i\right)\left(1 + \frac{\sqrt{3} i}{3}\right)}{2 - \frac{2 \sqrt{3} i}{3}} + \frac{5\left(\cos\left(\pi\right) + i \, \sin\left(\pi\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(- \frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{5 \pi}{6}\right)\right)}{4\left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)} - \frac{3\,e^{\pi\, i}\cdot 5\,e^{- \frac{\pi}{2}\, i}}{5\,e^{\frac{5 \pi}{6}\, i}}. 
	\]
	Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}, \qquad \frac{1}{2} \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\,\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right), \qquad \frac{1}{2} e^{\frac{\pi}{3}\,i}$ 
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.dzialania_zespolone()
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
    display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[1] + '$$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(1 + \sqrt{3} i\right)\left(2 - 2 i\right)}{-2 + 2 \sqrt{3} i} + \frac{2\left(\cos\left(- \frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{5 \pi}{6}\right)\right)\cdot 5\left(\cos\left(0\right) + i \, \sin\left(0\right)\right)}{5\left(\cos\left(- \frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right)\right)} - \frac{2\,e^{- \frac{\pi}{2}\, i}\cdot 2\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}}{4\,e^{\pi\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{3}{2} - \frac{3 \sqrt{3} i}{2}, \qquad 3 \left(\cos\left(- \frac{\pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{\pi}{3}\right)\right), \qquad 3 e^{- \frac{\pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(2 + \frac{2 \sqrt{3} i}{3}\right)\left(3 - 3 \sqrt{3} i\right)}{-1 + \sqrt{3} i} + \frac{3\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(- \frac{\pi}{3}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{3}\right)\right)}{3\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)} - \frac{3\,e^{\frac{\pi}{6}\, i}\cdot 4\,e^{0\, i}}{2\,e^{\frac{5 \pi}{6}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-1 + \sqrt{3} i, \qquad 2 \left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad 2 e^{\frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(4 + 4 \sqrt{2} i\right)\left(2 - 2 \sqrt{2} i\right)}{2 - 2 \sqrt{3} i} + \frac{5\left(\cos\left(\frac{3 \pi}{4}\right) + i \, \sin\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)\cdot 3\left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)}{5\left(\cos\left(\pi\right) + i \, \sin\left(\pi\right)\right)} - \frac{3\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}\cdot 2\,e^{\frac{3 \pi}{4}\, i}}{2\,e^{- \frac{\pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[3 + 3 \sqrt{3} i, \qquad 6 \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\,\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right), \qquad 6 e^{\frac{\pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(3 - 3 i\right)\left(-2 - 2 \sqrt{3} i\right)}{2 + 2 i} + \frac{3\left(\cos\left(- \frac{3 \pi}{4}\right) + i \, \sin\left(- \frac{3 \pi}{4}\right)\right)\cdot 5\left(\cos\left(- \frac{\pi}{4}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{4}\right)\right)}{5\left(\cos\left(- \frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{5 \pi}{6}\right)\right)} - \frac{5\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}\cdot 3\,e^{- \frac{\pi}{3}\, i}}{2\,e^{- \frac{\pi}{2}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{9 \sqrt{3}}{4} - \frac{9 i}{4}, \qquad \frac{9}{2} \left(\cos\left(- \frac{\pi}{6}\right) + i\,\sin\left(- \frac{\pi}{6}\right)\right), \qquad \frac{9}{2} e^{- \frac{\pi}{6}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(3 - 3 \sqrt{3} i\right)\left(1 + \sqrt{3} i\right)}{4 - \frac{4 \sqrt{3} i}{3}} + \frac{2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}{3\left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)} - \frac{3\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}\cdot 5\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}}{3\,e^{0\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{3}{4} + \frac{3 \sqrt{3} i}{4}, \qquad \frac{3}{2} \left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad \frac{3}{2} e^{\frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(4 - 4 \sqrt{3} i\right)\left(4 + 4 \sqrt{3} i\right)}{-2 + 2 \sqrt{3} i} + \frac{2\left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)\cdot 4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}{4\left(\cos\left(\pi\right) + i \, \sin\left(\pi\right)\right)} - \frac{2\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}\cdot 5\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}}{2\,e^{- \frac{\pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{19}{2} - \frac{19 \sqrt{3} i}{2}, \qquad 19 \left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad 19 e^{- \frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(4 + 4 \sqrt{3} i\right)\left(2 + \frac{2 \sqrt{3} i}{3}\right)}{4 + \frac{4 \sqrt{3} i}{3}} + \frac{5\left(\cos\left(- \frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot 4\left(\cos\left(0\right) + i \, \sin\left(0\right)\right)}{5\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)} - \frac{2\,e^{0\, i}\cdot 4\,e^{- \frac{\pi}{3}\, i}}{4\,e^{- \frac{\pi}{6}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \sqrt{3} + i, \qquad 2 \left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i\,\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right), \qquad 2 e^{\frac{5 \pi}{6}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(1 + i\right)\left(3 + 3 \sqrt{3} i\right)}{3 - 3 i} + \frac{2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\cdot 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)}{5\left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)} - \frac{3\,e^{\frac{5 \pi}{6}\, i}\cdot 2\,e^{\frac{3 \pi}{4}\, i}}{5\,e^{- \frac{\pi}{6}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \sqrt{3} + i, \qquad 2 \left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i\,\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right), \qquad 2 e^{\frac{5 \pi}{6}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(2 + 2 \sqrt{3} i\right)\left(3 + \sqrt{3} i\right)}{3 - \sqrt{3} i} + \frac{4\left(\cos\left(- \frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(0\right) + i \, \sin\left(0\right)\right)}{2\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)} - \frac{5\,e^{- \frac{\pi}{4}\, i}\cdot 5\,e^{\frac{\pi}{4}\, i}}{2\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{25}{4} + \frac{25 \sqrt{3} i}{4}, \qquad \frac{25}{2} \left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i\,\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right), \qquad \frac{25}{2} e^{\frac{\pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(-1 - \sqrt{2} i\right)\left(3 - 3 \sqrt{3} i\right)}{2 + 2 \sqrt{2} i} + \frac{4\left(\cos\left(\frac{3 \pi}{4}\right) + i \, \sin\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)\cdot 5\left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)}{4\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)} - \frac{3\,e^{\frac{5 \pi}{6}\, i}\cdot 3\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}}{3\,e^{- \frac{\pi}{2}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{5 \sqrt{2} i}{2}, \qquad 5 \left(\cos\left(- \frac{3 \pi}{4}\right) + i\,\sin\left(- \frac{3 \pi}{4}\right)\right), \qquad 5 e^{- \frac{3 \pi}{4}\,i}\]
***********************************************************************************************