Monotoniczność funkcji

Wskazówka

Binder <- interaktywna sesja notebooka

from random import choice

from IPython.display import display, Image, Markdown, Latex

import generator_zadan.generatory as gz

print(gz.__version__)

0.2.11

ile_zadan_przykladowych = 10

zadanie = gz.monotonicznosc(choice([1,2,3]))
zadanie

('Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji\n\t\\[\n\t\tf(x)=\\frac{3 - 2 x}{- 2 x^{2} - x - 2} \n\t\\]\n',
 "$D_f\\colon \\mathbb{R}$\\newline\n$f'(x)=- \\frac{\\left(2 x - 7\\right) \\left(2 x + 1\\right)}{\\left(2 x^{2} + x + 2\\right)^{2}}$\\newline\n$f'(x) > 0 \\textnormal{ dla: }- \\frac{1}{2} < x \\wedge x < \\frac{7}{2} \\implies f(x) \\textnormal{ jest rosnąca dla } x \\in \\left( - \\frac{1}{2}, \\frac{7}{2}  \\right) $\\newline\n$f'(x) < 0 \\textnormal{ dla: }\\frac{7}{2} < x \\vee x < - \\frac{1}{2} \\implies f(x) \\textnormal{ jest malejąca dla } x \\in \\left( -\\infty, - \\frac{1}{2}  \\right)\\textnormal{ oraz } x \\in \\left(\\frac{7}{2}, \\infty  \\right) $\\newline\n$f'(x) = 0 \\textnormal{ dla } x \\in \\left\\{ - \\frac{1}{2}, \\  \\frac{7}{2}\\right\\} \\implies f_{\\min}\\left(- \\frac{1}{2}\\right) = -2 \\textnormal{ oraz } f_{\\max}\\left(\\frac{7}{2}\\right) = \\frac{2}{15}$")
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
print(zadanie[1].split('$')[3].split('\\implies'))

** Zadanie ***********************************************************************************
Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji
	\[
		f(x)=\frac{3 - 2 x}{- 2 x^{2} - x - 2} 
	\]

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$D_f\colon \mathbb{R}$\newline
$f'(x)=- \frac{\left(2 x - 7\right) \left(2 x + 1\right)}{\left(2 x^{2} + x + 2\right)^{2}}$\newline
$f'(x) > 0 \textnormal{ dla: }- \frac{1}{2} < x \wedge x < \frac{7}{2} \implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left( - \frac{1}{2}, \frac{7}{2}  \right) $\newline
$f'(x) < 0 \textnormal{ dla: }\frac{7}{2} < x \vee x < - \frac{1}{2} \implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left( -\infty, - \frac{1}{2}  \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(\frac{7}{2}, \infty  \right) $\newline
$f'(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\{ - \frac{1}{2}, \  \frac{7}{2}\right\} \implies f_{\min}\left(- \frac{1}{2}\right) = -2 \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(\frac{7}{2}\right) = \frac{2}{15}$
***********************************************************************************************
["f'(x)=- \\frac{\\left(2 x - 7\\right) \\left(2 x + 1\\right)}{\\left(2 x^{2} + x + 2\\right)^{2}}"]
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.monotonicznosc(choice([1,2,3]))
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
    display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Markdown('$$' + zadanie[1].split('$')[1].replace('\\left\\{', '\\left\\lbrace').replace('\\right\\}', '\\right\\rbrace') + '$$'))
    display(Markdown('$$' + zadanie[1].split('$')[5].split('\\implies')[0] + '\\implies' + '$$' ))
    display(Markdown('$$' + '\\implies' + zadanie[1].split('$')[5].split('\\implies')[1] + '$$' ))
    display(Markdown('$$' + zadanie[1].split('$')[7].split('\\implies')[0] + '\\implies' + '$$' ))
    display(Markdown('$$' + '\\implies' + zadanie[1].split('$')[7].split('\\implies')[1] + '$$' ))
    display(Markdown('$$' + zadanie[1].split('$')[9].replace('\\left\\{', '\\left\\lbrace').replace('\\right\\}', '\\right\\rbrace') + '$$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 1} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace-1\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }0 < x \vee x < -2\implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left( -\infty, -2 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(0, \infty \right)$$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }x > -2 \wedge x < 0 \wedge x \neq -1 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left(-2,-1 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1,0 \right)$$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace -2, \ 0\right\rbrace \implies f_{\max}\left(-2\right) = -1 \textnormal{ oraz } f_{\min}\left(0\right) = 3$$

***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{3 x^{2} + 4 x - 1}{- x - 2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace-2\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }x > -3 \wedge x < -1 \wedge x \neq -2 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left(-3,-2 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-2,-1 \right) $$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }-1 < x \vee x < -3 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left( -\infty, -3 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1, \infty \right) $$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace -3, \ -1\right\rbrace \implies f_{\min}\left(-3\right) = 14 \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(-1\right) = 2$$

***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{4 x + 3}{x^{2} + 4 x + 3} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace -3, \ -1\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }x > - \frac{3}{2} \wedge x < 0 \wedge x \neq -1 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left(- \frac{3}{2},-1 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1,0 \right) $$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }\left(-3 < x \wedge x < - \frac{3}{2}\right) \vee 0 < x \vee x < -3 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left( -\infty, -3 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-3, - \frac{3}{2} \right) \textnormal{ oraz } x \in \left(0, \infty \right) $$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace - \frac{3}{2}, \ 0\right\rbrace \implies f_{\min}\left(- \frac{3}{2}\right) = 4 \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(0\right) = 1$$

***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{x^{2} - x - 1}{4 - 2 x} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace2\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }x > 1 \wedge x < 3 \wedge x \neq 2 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left(1,2 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(2,3 \right) $$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }3 < x \vee x < 1 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left( -\infty, 1 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(3, \infty \right) $$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace 1, \ 3\right\rbrace \implies f_{\min}\left(1\right) = - \frac{1}{2} \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(3\right) = - \frac{5}{2}$$

***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{4 x^{2} - 2 x - 2}{- x - 1} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace-1\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }x > -2 \wedge x < 0 \wedge x \neq -1 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left(-2,-1 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1,0 \right) $$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }0 < x \vee x < -2 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left( -\infty, -2 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(0, \infty \right) $$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace -2, \ 0\right\rbrace \implies f_{\min}\left(-2\right) = 18 \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(0\right) = 2$$

***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{4 x - 2}{4 x^{2} + 3} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }- \frac{1}{2} < x \wedge x < \frac{3}{2} \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left( - \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }\frac{3}{2} < x \vee x < - \frac{1}{2} \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left( -\infty, - \frac{1}{2} \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(\frac{3}{2}, \infty \right) $$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace - \frac{1}{2}, \ \frac{3}{2}\right\rbrace \implies f_{\min}\left(- \frac{1}{2}\right) = -1 \textnormal{ oraz } f_{\max}\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3}$$

***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{x^{2} + 4}{2 x + 3} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace- \frac{3}{2}\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }1 < x \vee x < -4\implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left( -\infty, -4 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(1, \infty \right)$$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }x > -4 \wedge x < 1 \wedge x \neq - \frac{3}{2} \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left(-4,- \frac{3}{2} \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(- \frac{3}{2},1 \right)$$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace -4, \ 1\right\rbrace \implies f_{\max}\left(-4\right) = -4 \textnormal{ oraz } f_{\min}\left(1\right) = 1$$

***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{2 x^{3}}{3 x + 1} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace- \frac{1}{3}\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }\left(- \frac{1}{2} < x \wedge x < - \frac{1}{3}\right) \vee \left(- \frac{1}{3} < x \wedge x < 0\right) \vee 0 < x \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left(- \frac{1}{2},- \frac{1}{3}\right) \textnormal{ oraz } x \in \left(- \frac{1}{3},\infty\right) $$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }x < - \frac{1}{2} \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left(-\infty,- \frac{1}{2}\right) $$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace - \frac{1}{2}, \ 0\right\rbrace \implies f_{\min}\left(- \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}$$

***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{3 x - 1} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace\frac{1}{3}\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }1 < x \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left(1,\infty\right) $$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }\left(-1 < x \wedge x < \frac{1}{3}\right) \vee \left(\frac{1}{3} < x \wedge x < 1\right) \vee x < -1 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left(-\infty,\frac{1}{3}\right) \textnormal{ oraz } x \in \left(\frac{1}{3},1\right) $$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace -1, \ 1\right\rbrace \implies f_{\min}\left(1\right) = 4$$

***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************

Zbadać monotoniczność i ekstrema funkcji

\[ f(x)=\frac{4 x^{2} - 2 x + 3}{3 x + 3} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************

$$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\lbrace-1\right\rbrace$$

$$f’(x) > 0 \textnormal{ dla: }\frac{1}{2} < x \vee x < - \frac{5}{2}\implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest rosnąca dla } x \in \left( -\infty, - \frac{5}{2} \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(\frac{1}{2}, \infty \right)$$

$$f’(x) < 0 \textnormal{ dla: }x > - \frac{5}{2} \wedge x < \frac{1}{2} \wedge x \neq -1 \implies$$

$$\implies f(x) \textnormal{ jest malejąca dla } x \in \left(- \frac{5}{2},-1 \right)\textnormal{ oraz } x \in \left(-1,\frac{1}{2} \right)$$

$$f’(x) = 0 \textnormal{ dla } x \in \left\lbrace - \frac{5}{2}, \ \frac{1}{2}\right\rbrace \implies f_{\max}\left(- \frac{5}{2}\right) = - \frac{22}{3} \textnormal{ oraz } f_{\min}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3}$$

***********************************************************************************************