Geometria analityczna
Wskazówka
<- interaktywna sesja notebooka
from random import choice
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import generator_zadan.generatory as gz
print(gz.__version__)
0.2.11
ile_zadan_przykladowych = 10
Równanie prostej w R^3
zadanie = gz.rownanie_prostej()
zadanie
('Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty\n\t\\[\n\t\tP_1 = (-3, -1, -3), \\quad P_2 = (-1, 2, -2).\n\t\\]\n\tObliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu\n\t\\[\n\t\tP_3 = (1, 5, -1).\n\t\\]',
'$l\\colon \\frac{x + 3}{2}= \\frac{y + 1}{3}= \\frac{z + 3}{1}; \\qquad d(P_3,l) = 0$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[
P_1 = (-3, -1, -3), \quad P_2 = (-1, 2, -2).
\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[
P_3 = (1, 5, -1).
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$l\colon \frac{x + 3}{2}= \frac{y + 1}{3}= \frac{z + 3}{1}; \qquad d(P_3,l) = 0$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.rownanie_prostej()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-2, 1, 1), \quad P_2 = (-2, -3, -1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (4, 5, 3).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 2}{0}= \frac{y - 1}{-4}= \frac{z - 1}{-2}; \qquad d(P_3,l) = 6\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-2, 3, 1), \quad P_2 = (-2, -1, -3).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-1, 2, 4).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 2}{0}= \frac{y - 3}{-4}= \frac{z - 1}{-4}; \qquad d(P_3,l) = 3\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (2, 1, 3), \quad P_2 = (4, -1, 3).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-2, 5, 4).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 2}{2}= \frac{y - 1}{-2}= \frac{z - 3}{0}; \qquad d(P_3,l) = 1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (3, 3, 2), \quad P_2 = (1, 5, 3).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-2, 1, 2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 3}{-2}= \frac{y - 3}{2}= \frac{z - 2}{1}; \qquad d(P_3,l) = 5\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (4, 3, 1), \quad P_2 = (2, 1, 1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-2, -3, 3).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 4}{-2}= \frac{y - 3}{-2}= \frac{z - 1}{0}; \qquad d(P_3,l) = 2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-1, 2, -3), \quad P_2 = (1, 2, 1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (3, -3, 5).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 1}{2}= \frac{y - 2}{0}= \frac{z + 3}{4}; \qquad d(P_3,l) = 5\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (4, -1, 1), \quad P_2 = (-2, -1, 4).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (5, -3, -2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 4}{-6}= \frac{y + 1}{0}= \frac{z - 1}{3}; \qquad d(P_3,l) = 3\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-2, 1, 5), \quad P_2 = (3, 5, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-2, 1, 5).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 2}{5}= \frac{y - 1}{4}= \frac{z - 5}{-3}; \qquad d(P_3,l) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-1, 3, -3), \quad P_2 = (1, 4, -1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-2, 1, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 1}{2}= \frac{y - 3}{1}= \frac{z + 3}{2}; \qquad d(P_3,l) = 3\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-2, -1, 4), \quad P_2 = (-2, -3, 1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (5, -3, 1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 2}{0}= \frac{y + 1}{-2}= \frac{z - 4}{-3}; \qquad d(P_3,l) = 7\]
***********************************************************************************************
Równanie płaszczyzny w R^3
zadanie = gz.rownanie_plaszczyzny()
zadanie
('Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty\n\t\\[\n\t\tP_1 = (3, 2, 5), \\quad P_2 = (4, 3, 4), \\quad P_3 = (-3, 2, 5).\n\t\\]\n\tObliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu\n\t\\[\n\t\tP_4 = (-1, 5, 2).\n\t\\]',
'$\\pi\\colon 6 y + 6 z - 42=0; \\qquad d(P_4,\\pi) = 0$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[
P_1 = (3, 2, 5), \quad P_2 = (4, 3, 4), \quad P_3 = (-3, 2, 5).
\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[
P_4 = (-1, 5, 2).
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\pi\colon 6 y + 6 z - 42=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.rownanie_plaszczyzny()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (3, 1, -3), \quad P_2 = (-3, 2, 1), \quad P_3 = (1, 4, 1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (5, 5, 3).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 8 x + 16 y - 16 z - 40=0; \qquad d(P_4,\pi) = 2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (0, 5, 5), \quad P_2 = (0, 5, 3), \quad P_3 = (4, 2, 5).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (4, -3, 5).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 6 x - 8 y + 40=0; \qquad d(P_4,\pi) = 4\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (2, 3, 1), \quad P_2 = (5, 2, 5), \quad P_3 = (5, 1, 4).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (2, 0, -2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 5 x + 3 y - 3 z - 16=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-3, 0, -2), \quad P_2 = (-1, 0, -2), \quad P_3 = (2, -3, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (4, 3, 1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 8 y - 6 z - 12=0; \qquad d(P_4,\pi) = \frac{21}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-2, -1, -2), \quad P_2 = (-1, -1, 3), \quad P_3 = (4, 1, 0).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (1, 0, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 10 x + 28 y + 2 z + 12=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (1, 3, 1), \quad P_2 = (5, -1, -3), \quad P_3 = (2, 1, -1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (0, 1, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 4 y - 4 z - 8=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (5, 5, 5), \quad P_2 = (5, -3, 3), \quad P_3 = (1, 0, 5).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (1, 0, 5).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 10 x + 8 y - 32 z + 170=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (2, -3, 5), \quad P_2 = (-3, -1, 3), \quad P_3 = (1, 1, 0).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (1, 1, 0).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 2 x - 23 y - 18 z + 25=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (4, -3, 0), \quad P_2 = (5, 4, 1), \quad P_3 = (5, 5, -2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (4, -3, 0).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 22 x + 3 y + z + 97=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (3, 4, 5), \quad P_2 = (3, 2, 5), \quad P_3 = (-1, -1, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (-3, -3, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 6 x - 8 z + 22=0; \qquad d(P_4,\pi) = \frac{6}{5}\]
***********************************************************************************************
Punkty symetryczny do płaszczyzny
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_plaszczyzny()
zadanie
('Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu\n\t\\[\n\t\tP = (2, -2, 4)\n\t\\]\n\twzględem płaszczyzny\n\t\\[\n\t\t\\pi\\colon - x + y - z - 1 = 0.\n\t\\]',
'Prosta prostopadła: $ \\frac{x - 2}{-1}= \\frac{y + 2}{1}= \\frac{z - 4}{-1}= t,$ \\quad $t_p=3$ \\\\\nPunkt przecięcia to: $P_p =(-1,1,1),$ \\quad \nPunkt symetryczny to: $P_s = (-4,4,-2)$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[
P = (2, -2, 4)
\]
względem płaszczyzny
\[
\pi\colon - x + y - z - 1 = 0.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła: $ \frac{x - 2}{-1}= \frac{y + 2}{1}= \frac{z - 4}{-1}= t,$ \quad $t_p=3$ \\
Punkt przecięcia to: $P_p =(-1,1,1),$ \quad
Punkt symetryczny to: $P_s = (-4,4,-2)$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_plaszczyzny()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[0]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[1] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[4][2:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[5] + ' \quad ' + zadanie[1].split('$')[3] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[6][6:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[7] + '$$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (5, 4, -1)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + y + 2 z + 5 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 5}{1}= \frac{y - 4}{1}= \frac{z + 1}{2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,2,-5), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (1,0,-9)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (1, 2, -2)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + 2 y - z + 5 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 1}{1}= \frac{y - 2}{2}= \frac{z + 2}{-1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,-2,0), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-3,-6,2)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, 4, 2)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon - 2 x - y - 2 z - 2 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 4}{-2}= \frac{y - 4}{-1}= \frac{z - 2}{-2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(0,2,-2), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-4,0,-6)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (1, 1, 4)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + y + z + 3 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 1}{1}= \frac{y - 1}{1}= \frac{z - 4}{1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-2,-2,1), \quad t_p=-3\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-5,-5,-2)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-3, -3, -1)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon - 2 x - y - z + 2 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x + 3}{-2}= \frac{y + 3}{-1}= \frac{z + 1}{-1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,-1,1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (5,1,3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (3, 3, 4)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon - x - y - z + 4 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 3}{-1}= \frac{y - 3}{-1}= \frac{z - 4}{-1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,1,2), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-1,-1,0)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (5, -2, -1)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x - y - z - 2 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 5}{1}= \frac{y + 2}{-1}= \frac{z + 1}{-1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,0,1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (1,2,3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (2, 1, 5)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + y + 2 z + 5 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 2}{1}= \frac{y - 1}{1}= \frac{z - 5}{2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,-2,-1), \quad t_p=-3\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-4,-5,-7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, 5, -3)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + 2 y - 2 z - 2 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 4}{1}= \frac{y - 5}{2}= \frac{z + 3}{-2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(2,1,1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (0,-3,5)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-1, -3, 5)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + y + z + 5 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x + 1}{1}= \frac{y + 3}{1}= \frac{z - 5}{1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-3,-5,3), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-5,-7,1)\]
***********************************************************************************************
Punkt symetryczny do prostej
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_prostej()
zadanie
('Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu\n\t\\[\n\t\tP = (1, 5, -1)\n\t\\]\n\twzględem prostej\n\t\\[\n\t\tl\\colon \\frac{x - 3}{1}= \\frac{y + 3}{-2}= \\frac{z + 1}{2}.\n\t\\]',
'Płaszczyzna prostopadła: $\\pi\\colon x - 2 y + 2 z + 11 = 0, \\quad t_p=-2$ \\\\\n\t\t\t\tPunkt przecięcia to: $P_p =(1,1,-5),$ \\quad \n\t\t\t\tPunkt symetryczny to: $P_s = (1,-3,-9)$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[
P = (1, 5, -1)
\]
względem prostej
\[
l\colon \frac{x - 3}{1}= \frac{y + 3}{-2}= \frac{z + 1}{2}.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła: $\pi\colon x - 2 y + 2 z + 11 = 0, \quad t_p=-2$ \\
Punkt przecięcia to: $P_p =(1,1,-5),$ \quad
Punkt symetryczny to: $P_s = (1,-3,-9)$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_prostej()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[0]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[1].split('\\quad')[0] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[2][8:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[3] + ' \quad ' + zadanie[1].split('$')[1].split('\quad')[1] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[4][12:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[5] + '$$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (5, 2, 1)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 3}{1}= \frac{y - 5}{-2}= \frac{z - 5}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon x - 2 y - z = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(5,1,3), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (5,0,5)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (3, -1, 5)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 1}{-1}= \frac{y - 3}{-1}= \frac{z + 3}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x - y - z + 7 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,5,-1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (3,11,-7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-3, 5, 3)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 5}{-3}= \frac{y - 1}{3}= \frac{z + 3}{3}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - 3 x + 3 y + 3 z - 33 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,7,3), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (1,9,3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-2, 5, 3)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 3}{1}= \frac{y + 2}{-2}= \frac{z + 2}{-3}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon x - 2 y - 3 z + 21 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-5,2,4), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-8,-1,5)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, -1, -1)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 3}{-1}= \frac{y + 2}{1}= \frac{z - 2}{2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x + y + 2 z + 7 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,-4,-2), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-6,-7,-3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-2, -3, -2)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 4}{-2}= \frac{y - 4}{-3}= \frac{z - 3}{1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - 2 x - 3 y + z - 11 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(0,-2,5), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (2,-1,12)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-1, 3, -1)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 3}{-3}= \frac{y + 3}{2}= \frac{z - 3}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - 3 x + 2 y - z - 10 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-3,1,1), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-5,-1,3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (3, 3, 1)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 5}{-1}= \frac{y + 3}{2}= \frac{z + 1}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x + 2 y - z - 2 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,1,-3), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (3,-1,-7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (1, -2, -3)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 1}{1}= \frac{y - 2}{-3}= \frac{z - 5}{-3}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon x - 3 y - 3 z - 16 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,-4,-1), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (1,-6,1)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (2, 5, 4)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 3}{2}= \frac{y - 1}{-1}= \frac{z + 2}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon 2 x - y - z + 5 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,3,0), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-4,1,-4)\]
***********************************************************************************************
Proste skośne
zadanie = gz.odleglosc_prostych_skosnych()
zadanie
('Obliczyć odległość prostych skośnych\n\t\\[\n\t\tl_1\\colon \\frac{x + 2}{-2}=\\frac{y - 3}{2}=\\frac{z + 1}{3}, \\quad \n\t\tl_2\\colon \\frac{x - 3}{1}=\\frac{y - 3}{-2}=\\frac{z - 3}{-2}.\n\t\\]\tWyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.',
'Płaszczyzna zawierająca $l_2$ i równoległa do $l_1$ to $\\pi\\colon 2 x - y + 2 z - 9=0$;\\\\$d(l_1,l_2)=6;$\\quad Punkty realizujące minimalną odległość to:\\ $ P_3=(2,-1,-7),\\ P_4=(6,-3,-3)$.\n')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[
l_1\colon \frac{x + 2}{-2}=\frac{y - 3}{2}=\frac{z + 1}{3}, \quad
l_2\colon \frac{x - 3}{1}=\frac{y - 3}{-2}=\frac{z - 3}{-2}.
\] Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca $l_2$ i równoległa do $l_1$ to $\pi\colon 2 x - y + 2 z - 9=0$;\\$d(l_1,l_2)=6;$\quad Punkty realizujące minimalną odległość to:\ $ P_3=(2,-1,-7),\ P_4=(6,-3,-3)$.
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.odleglosc_prostych_skosnych()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[3]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4][3:]))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Markdown('Płaszczyzna zawierająca *l<sub>2</sub>* i równoległa do *l<sub>1</sub>* to'))
display(Latex('$$' + (zadanie[1].split('$')[5]) + '$$'))
display(Markdown('Odległość prostych skośnych to'))
display(Latex('$$' + (zadanie[1].split('$')[7]) + '$$'))
display(Markdown('Punkty realizujące minimalną odległość to'))
display(Latex('$$' + (zadanie[1].split('$')[9]).replace('\\ ', '\qquad ') + '$$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x + 2}{3}=\frac{y - 4}{4}=\frac{z - 3}{1}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x + 1}{3}=\frac{y + 3}{4}=\frac{z + 2}{-3}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - 16 x + 12 y + 20=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=5;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-8,-4,1),\qquad P_4=(-4,-7,1)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 3}{3}=\frac{y + 2}{-2}=\frac{z - 2}{2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 4}{4}=\frac{y - 3}{-2}=\frac{z - 1}{3}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - 2 x - y + 2 z + 9=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-18,12,-12),\qquad P_4=(-16,13,-14)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 4}{-3}=\frac{y + 3}{-2}=\frac{z - 3}{-2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 1}{4}=\frac{y + 2}{2}=\frac{z - 4}{3}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - 2 x + y + 2 z - 4=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(7,-1,5),\qquad P_4=(5,0,7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 4}{3}=\frac{y - 5}{2}=\frac{z - 1}{-2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x + 1}{-2}=\frac{y - 4}{2}=\frac{z - 1}{3}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 10 x - 5 y + 10 z + 20=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(1,3,3),\qquad P_4=(-1,4,1)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x + 2}{-2}=\frac{y - 2}{3}=\frac{z - 2}{2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x + 3}{-2}=\frac{y + 3}{2}=\frac{z - 1}{1}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - x - 2 y + 2 z - 11=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(4,-7,-4),\qquad P_4=(3,-9,-2)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 1}{-3}=\frac{y + 3}{4}=\frac{z - 4}{5}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 2}{-3}=\frac{y - 4}{4}=\frac{z - 2}{-2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - 28 x - 21 y + 140=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=5;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(1,-3,4),\qquad P_4=(5,0,4)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 1}{2}=\frac{y - 5}{-1}=\frac{z - 4}{2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x + 2}{1}=\frac{y - 2}{-2}=\frac{z - 1}{-2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 6 x + 6 y - 3 z + 3=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-1,6,2),\qquad P_4=(-3,4,3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 5}{2}=\frac{y - 5}{1}=\frac{z - 3}{-2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 1}{4}=\frac{y + 3}{5}=\frac{z - 4}{2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 12 x - 12 y + 6 z - 72=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(3,4,5),\qquad P_4=(5,2,6)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x + 3}{-1}=\frac{y - 2}{-2}=\frac{z - 1}{-2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 3}{3}=\frac{y + 2}{5}=\frac{z + 1}{4}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 2 x - 2 y + z - 9=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=6;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-13,-18,-19),\qquad P_4=(-9,-22,-17)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 5}{-3}=\frac{y - 1}{2}=\frac{z - 3}{-2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 2}{4}=\frac{y + 1}{-3}=\frac{z - 2}{2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - 2 x - 2 y + z=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-4,7,-3),\qquad P_4=(-6,5,-2)\]
***********************************************************************************************
Kąty w trójkącie
zadanie = gz.katy_w_trojkacie(prosty=choice([False, True]), calkowite=choice([False, True]))
zadanie
('Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta $ABC,$ gdzie\n\t\\[\n\t\tA = (4, 2, 0),\\ B = (5, 1, 1),\\ C = (2, 4, 2)\n\t\\]\n\tSprawdzić, czy sumują się do $180^{\\circ}.$\\\\',
'$\\alpha \\approx 109.47^{\\circ},\\ \\beta \\approx 48.53^{\\circ},\\ \\gamma \\approx 22.00^{\\circ}.$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta $ABC,$ gdzie
\[
A = (4, 2, 0),\ B = (5, 1, 1),\ C = (2, 4, 2)
\]
Sprawdzić, czy sumują się do $180^{\circ}.$\\
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\alpha \approx 109.47^{\circ},\ \beta \approx 48.53^{\circ},\ \gamma \approx 22.00^{\circ}.$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.katy_w_trojkacie(prosty=choice([False, True]), calkowite=choice([False, True]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown('Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta *ABC*, gdzie'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown('Sprawdzić, czy sumują się do 180\u00b0.'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (-1, 0, -3),\ B = (1, 4, -2),\ C = (2, -2, -1)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 90.00^{\circ},\ \beta \approx 41.98^{\circ},\ \gamma \approx 48.02^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (5, -2, -1),\ B = (2, 5, -2),\ C = (-2, 4, 3)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha \approx 40.16^{\circ},\ \beta = 90.00^{\circ},\ \gamma \approx 49.84^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (5, -1, 1),\ B = (0, 0, -2),\ C = (4, -3, -1)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha \approx 59.53^{\circ},\ \beta \approx 30.47^{\circ},\ \gamma = 90.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (2, 4, 3),\ B = (5, 4, 5),\ C = (2, 3, 4)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha \approx 66.91^{\circ},\ \beta \approx 23.09^{\circ},\ \gamma = 90.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (-3, 1, 4),\ B = (-3, -2, 1),\ C = (-2, -3, 5)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 60.00^{\circ},\ \beta = 60.00^{\circ},\ \gamma = 60.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (2, 4, 4),\ B = (1, 3, 1),\ C = (1, 3, 4)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha \approx 64.76^{\circ},\ \beta \approx 25.24^{\circ},\ \gamma = 90.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (3, 1, -1),\ B = (4, 0, -1),\ C = (5, 0, -2)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 30.00^{\circ},\ \beta = 120.00^{\circ},\ \gamma = 30.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (2, -1, 1),\ B = (3, 3, -2),\ C = (-1, 0, -3)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 60.00^{\circ},\ \beta = 60.00^{\circ},\ \gamma = 60.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (4, 0, -1),\ B = (5, 2, -3),\ C = (3, 4, -2)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 45.00^{\circ},\ \beta = 90.00^{\circ},\ \gamma = 45.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (2, 3, 4),\ B = (2, -3, 2),\ C = (1, -3, 2)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha \approx 8.98^{\circ},\ \beta = 90.00^{\circ},\ \gamma \approx 81.02^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
Iloczyn wektorowy
zadanie = gz.iloczyn_wektorowy(ladne=choice([False, True]))
zadanie
('Niech dane będą wektory $\\vec{u}=[3, -2, -1]$ i $\\vec{v}=[4, 2, -1].$\\par\n\t\\hspace{.5cm} \\textbf{(a)} Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.\\par\n\t\\hspace{.5cm} \\textbf{(b)} Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.\\par\n\t\\hspace{.5cm} \\textbf{(c)} Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.\\par\n\t\\hspace{.5cm} \\textbf{(d)} Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).',
"$\\textbf{(a)}\\ \\vec{u}\\times\\vec{v}=[4, -1, 14], |\\vec{u}\\times\\vec{v}|=\\sqrt{213}, \\quad \\textbf{(b)} \\ \\vec{u}\\circ (\\vec{u}\\times \\vec{v}) = 0, \\vec{v}\\circ (\\vec{u}\\times \\vec{v}) = 0,\\newline \\quad \\textbf{(c)} \\ \\angle (\\vec{u},\\vec{v})=\\arccos{\\frac{9}{\\sqrt{14}\\cdot \\sqrt{21}} }= 58.3391172254048^{\\circ} ,\\newline \\quad \\textbf{(d)} \\ |\\vec{u}\\times\\vec{v}|=\\sqrt{14}\\cdot\\sqrt{21}\\cdot\\sin{58.3391172254048^{\\circ}}=14.5945195193231,\\newline \\quad \\textbf{(d')}\\ |\\vec{u}\\times\\vec{v}|=\\sqrt{14}\\cdot\\sqrt{21}\\cdot \\sqrt{1-\\frac{27}{98}}=\\sqrt{213} $")
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Niech dane będą wektory $\vec{u}=[3, -2, -1]$ i $\vec{v}=[4, 2, -1].$\par
\hspace{.5cm} \textbf{(a)} Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.\par
\hspace{.5cm} \textbf{(b)} Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.\par
\hspace{.5cm} \textbf{(c)} Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.\par
\hspace{.5cm} \textbf{(d)} Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[4, -1, 14], |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{213}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\newline \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{9}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{21}} }= 58.3391172254048^{\circ} ,\newline \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{14}\cdot\sqrt{21}\cdot\sin{58.3391172254048^{\circ}}=14.5945195193231,\newline \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{14}\cdot\sqrt{21}\cdot \sqrt{1-\frac{27}{98}}=\sqrt{213} $
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.iloczyn_wektorowy(ladne=choice([False, True]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('$')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('$')[1]) + ', \quad ' + (zadanie[0].split('$')[3]) + '$$'))
display(Markdown('(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.'))
display(Markdown('(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.'))
display(Markdown('(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.'))
display(Markdown('(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$ \quad ' + zadanie[1].split('\\newline')[0][1:] + '$'))
display(Latex('$' + zadanie[1].split('\\newline')[1] + '$'))
display(Latex('$' + zadanie[1].split('\\newline')[2] + '$'))
display(Latex('$' + zadanie[1].split('\\newline')[3][:-1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[4, 4, -4], \quad \vec{v}=[2, 3, 5].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[32, -28, 4], |\vec{u}\times\vec{v}|=4 \sqrt{114}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{0}{4 \sqrt{3}\cdot \sqrt{38}} }= 90.0^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=4 \sqrt{3}\cdot\sqrt{38}\cdot\sin{90.0^{\circ}}=42.7083130081252,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=4 \sqrt{3}\cdot\sqrt{38}\cdot \sqrt{1-0}=4 \sqrt{114} \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[-4, 5, 3], \quad \vec{v}=[-2, 3, -4].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[-29, -22, -2], |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{1329}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{11}{5 \sqrt{2}\cdot \sqrt{29}} }= 73.2094348321801^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=5 \sqrt{2}\cdot\sqrt{29}\cdot\sin{73.2094348321801^{\circ}}=36.4554522671357,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=5 \sqrt{2}\cdot\sqrt{29}\cdot \sqrt{1-\frac{121}{1450}}=\sqrt{1329} \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[5, -4, 5], \quad \vec{v}=[-1, 3, 1].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[-19, -10, 11], |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{582}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{-12}{\sqrt{66}\cdot \sqrt{11}} }= 116.446487117722^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{66}\cdot\sqrt{11}\cdot\sin{116.446487117722^{\circ}}=24.1246761636225,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{66}\cdot\sqrt{11}\cdot \sqrt{1-\frac{24}{121}}=\sqrt{582} \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[2, 2, -2], \quad \vec{v}=[3, -4, -1].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[-10, -4, -14], |\vec{u}\times\vec{v}|=2 \sqrt{78}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{0}{2 \sqrt{3}\cdot \sqrt{26}} }= 90.0^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=2 \sqrt{3}\cdot\sqrt{26}\cdot\sin{90.0^{\circ}}=17.6635217326557,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=2 \sqrt{3}\cdot\sqrt{26}\cdot \sqrt{1-0}=2 \sqrt{78} \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[1, 3, 3], \quad \vec{v}=[3, 1, -2].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[-9, 11, -8], |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{266}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{0}{\sqrt{19}\cdot \sqrt{14}} }= 90.0^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{19}\cdot\sqrt{14}\cdot\sin{90.0^{\circ}}=16.3095064303001,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{19}\cdot\sqrt{14}\cdot \sqrt{1-0}=\sqrt{266} \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[5, -1, 3], \quad \vec{v}=[2, -2, -4].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[10, 26, -8], |\vec{u}\times\vec{v}|=2 \sqrt{210}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{0}{\sqrt{35}\cdot 2 \sqrt{6}} }= 90.0^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{35}\cdot2 \sqrt{6}\cdot\sin{90.0^{\circ}}=28.9827534923789,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{35}\cdot2 \sqrt{6}\cdot \sqrt{1-0}=2 \sqrt{210} \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[5, 2, -4], \quad \vec{v}=[2, 5, 5].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[30, -33, 21], |\vec{u}\times\vec{v}|=9 \sqrt{30}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{0}{3 \sqrt{5}\cdot 3 \sqrt{6}} }= 90.0^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=3 \sqrt{5}\cdot3 \sqrt{6}\cdot\sin{90.0^{\circ}}=49.295030175465,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=3 \sqrt{5}\cdot3 \sqrt{6}\cdot \sqrt{1-0}=9 \sqrt{30} \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[2, 1, 2], \quad \vec{v}=[-2, -4, 4].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[12, -12, -6], |\vec{u}\times\vec{v}|=18, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{0}{3\cdot 6} }= 90.0^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=3\cdot6\cdot\sin{90.0^{\circ}}=18.0,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=3\cdot6\cdot \sqrt{1-0}=18 \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[-3, -1, 2], \quad \vec{v}=[-3, -1, 2].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[0, 0, 0], |\vec{u}\times\vec{v}|=0, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{14}{\sqrt{14}\cdot \sqrt{14}} }= 0^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\cdot\sin{0^{\circ}}=0,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}\cdot \sqrt{1-1}=0 \]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Niech dane będą wektory
\[\vec{u}=[4, 3, -2], \quad \vec{v}=[5, -1, 1].\]
(a) Obliczyć ich iloczyn wektorowy i jego długość.
(b) Sprawdzić, czy wyznaczony iloczyn jest prostopadły do zadanych wektorów.
(c) Wyznaczyć kąt między zadanymi wektorami.
(d) Używając kąta między wektorami obliczyć długość iloczynu wektorowego i porównać z (a).
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \quad \textbf{(a)}\ \vec{u}\times\vec{v}=[1, -14, -19], |\vec{u}\times\vec{v}|=3 \sqrt{62}, \quad \textbf{(b)} \ \vec{u}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0, \vec{v}\circ (\vec{u}\times \vec{v}) = 0,\]
\[ \quad \textbf{(c)} \ \angle (\vec{u},\vec{v})=\arccos{\frac{15}{\sqrt{29}\cdot 3 \sqrt{3}} }= 57.5844267421083^{\circ} ,\]
\[ \quad \textbf{(d)} \ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{29}\cdot3 \sqrt{3}\cdot\sin{57.5844267421083^{\circ}}=23.6220236220367,\]
\[ \quad \textbf{(d')}\ |\vec{u}\times\vec{v}|=\sqrt{29}\cdot3 \sqrt{3}\cdot \sqrt{1-\frac{25}{87}}=3 \sqrt{62} \]
***********************************************************************************************
Pole trójkąta
zadanie = gz.pole_trojkata(calkowite=choice([False, True]))
zadanie
('Wyznaczyć pole trójkąta $ABC$ oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B dla\n\t\\[\n\t\tA = (1, -3, -2),\\ B = (-1, 4, -2),\\ C = (1, 5, -2)\n\t\\]',
'$P=8,\\ \\ h_B=2$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta $ABC$ oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B dla
\[
A = (1, -3, -2),\ B = (-1, 4, -2),\ C = (1, 5, -2)
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$P=8,\ \ h_B=2$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.pole_trojkata(calkowite=choice([False, True]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(
f'Wyznaczyć pole trójkąta *ABC* oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka *{zadanie[0].split("ka ")[1].split(" dla")[0]}*' + ' dla'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1].replace('\\ \\', '\qquad') + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (1, 2, 5),\ B = (-1, 1, 5),\ C = (-3, 4, 3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\sqrt{21},\qquad h_C=\frac{2 \sqrt{105}}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (-3, -3, 2),\ B = (2, -2, 5),\ C = (3, -1, 4)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=2 \sqrt{6},\qquad h_C=\frac{4 \sqrt{210}}{35}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A dla
\[ A = (3, -3, 3),\ B = (5, -1, 3),\ C = (5, 2, 3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=3,\qquad h_A=2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (5, -2, -3),\ B = (5, -2, -2),\ C = (-2, -2, 4)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{7}{2},\qquad h_C=7\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (4, 3, 4),\ B = (4, 1, 4),\ C = (-3, -1, 4)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=7,\qquad h_C=7\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A dla
\[ A = (3, -1, 5),\ B = (4, -1, -3),\ C = (4, -1, 2)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{5}{2},\qquad h_A=1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (-1, 3, -2),\ B = (-1, 4, -2),\ C = (-2, 4, -2)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{1}{2},\qquad h_C=1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (-2, -2, 3),\ B = (-2, -1, 3),\ C = (-2, 3, 1)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=1,\qquad h_C=2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (2, -1, -1),\ B = (4, -1, 4),\ C = (3, 1, -2)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{\sqrt{165}}{2},\qquad h_C=\frac{\sqrt{4785}}{29}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B dla
\[ A = (2, 2, 3),\ B = (5, 2, -1),\ C = (2, 5, -1)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{3 \sqrt{41}}{2},\qquad h_B=\frac{3 \sqrt{41}}{5}\]
***********************************************************************************************
Płaszczyzna styczna
zadanie = gz.plaszczyzna_styczna()
zadanie
('Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni $$f(x,y)=\\left(3 - x\\right) \\left(y - 4\\right) + \\left(x - 3\\right)^{2} \\left(y - 1\\right)^{2}$$ w punkcie $P=(2,-1,f(2,-1)).$',
'$z = - 3 x - 3 y + 2$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni $$f(x,y)=\left(3 - x\right) \left(y - 4\right) + \left(x - 3\right)^{2} \left(y - 1\right)^{2}$$ w punkcie $P=(2,-1,f(2,-1)).$
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$z = - 3 x - 3 y + 2$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.plaszczyzna_styczna()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(
f'Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('$$')[1]) + '$$'))
display(Markdown('w punkcie'))
display(Latex('$' + zadanie[0].split('punkcie ')[1] + '$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1].replace('\\ \\', '\qquad') + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=3 \left(x - 5\right)^{2} \left(y - 1\right)^{2} + \left(5 x - 25\right) \left(y - 1\right)\]
w punkcie
\[P=(4,2,f(4,2)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - x + y\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\frac{\sqrt{9 - 5 y^{2}}}{x + 4 y}\]
w punkcie
\[P=(5,1,f(5,1)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - \frac{2 x}{81} - \frac{61 y}{162} + \frac{13}{18}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\left(- x - 3\right) \left(y - 2\right) + 2 \left(x + 3\right)^{2} \left(y + 3\right)^{2}\]
w punkcie
\[P=(-2,-3,f(-2,-3)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = 5 x - y + 12\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=y \left(x + 4\right)\]
w punkcie
\[P=(2,-1,f(2,-1)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - x + 6 y + 2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\left(x + 2\right)^{2} \left(y - 5\right)^{2} + \left(3 x + 3\right) \left(y + 2\right)\]
w punkcie
\[P=(-2,-4,f(-2,-4)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - 6 x - 3 y - 18\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\frac{\sqrt{- 4 x^{2} + 4 y^{2} + 4}}{2 x + 3 y}\]
w punkcie
\[P=(1,5,f(1,5)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - \frac{134 x}{1445} + \frac{4 y}{289} + \frac{52}{85}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\sqrt{- 3 x^{2} - 5 y^{2} + 9}\]
w punkcie
\[P=(1,-1,f(1,-1)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - 3 x + 5 y + 9\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\left(- x + 3 y\right) e^{2 x^{2} - x - 2 y^{2} - 1}\]
w punkcie
\[P=(1,0,f(1,0)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - 4 x + 3 y + 3\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\frac{2 x}{y} + y + \frac{4}{y} - \frac{3}{x}\]
w punkcie
\[P=(-3,-4,f(-3,-4)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - \frac{x}{6} + \frac{9 y}{8} + \frac{3}{2}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=4 x^{3} y - 3 x^{2} y - 2 x^{2} - x y^{3} + 3 y^{2}\]
w punkcie
\[P=(1,1,f(1,1)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = x + 4 y - 4\]
***********************************************************************************************