Całki nieoznaczone

Binder - interaktywna sesja notebooka

Przez podstawienie i przez części

from random import choice

from IPython.display import Latex, Markdown

import generator_zadan.generatory as gz

print(gz.__version__)

0.2.11

ile_zadan_przykladowych = 10

zadanie = gz.calka_nieoznaczona(typ=choice([1, 2, 3, 4]))
zadanie

('Obliczyć całkę\n\t\\[\n\t\t\\int \\left(- 3 x^{2} + 2 x\\right) \\sin{\\left(3 x \\right)} \\, dx \n\t\\]\n',
 '$\\int \\left(- 3 x^{2} + 2 x\\right) \\sin{\\left(3 x \\right)}\\,dx = \\left(\\frac{2}{9} - \\frac{2 x}{3}\\right) \\sin{\\left(3 x \\right)} + \\left(x^{2} - \\frac{2 x}{3} - \\frac{2}{9}\\right) \\cos{\\left(3 x \\right)} + C$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć całkę
	\[
		\int \left(- 3 x^{2} + 2 x\right) \sin{\left(3 x \right)} \, dx 
	\]

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\int \left(- 3 x^{2} + 2 x\right) \sin{\left(3 x \right)}\,dx = \left(\frac{2}{9} - \frac{2 x}{3}\right) \sin{\left(3 x \right)} + \left(x^{2} - \frac{2 x}{3} - \frac{2}{9}\right) \cos{\left(3 x \right)} + C$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.calka_nieoznaczona(typ=choice([1, 2, 3, 4]))
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
    display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$$' +  zadanie[1].split('=')[1] + '$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \left(3 x^{2} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ 6 x \cos{\left(x \right)} + \left(3 x^{2} - 5\right) \sin{\left(x \right)} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{1}{\left(5 x + 4\right)^{3}} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{1}{10 \left(5 x + 4\right)^{2}} + C\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \left(2 - x\right) \sqrt{x + 3} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{2 \left(x + 3\right)^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 16\right)}{15} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int - \frac{2}{3 x - 1} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{2 \log{\left(3 x - 1 \right)}}{3} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{x + 5}{- 2 x^{2} + 3 x - 3} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{\ln{\left(x^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \right)}}{4} - \frac{23 \sqrt{15} \operatorname{atan}{\left(\frac{4 \sqrt{15} x}{15} - \frac{\sqrt{15}}{5} \right)}}{30} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \left(3 x^{2} + 5 x - 2\right) \ln{\left(4 x \right)} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{x^{3}}{3} - \frac{5 x^{2}}{4} + 2 x + \left(x^{3} + \frac{5 x^{2}}{2} - 2 x\right) \ln{\left(4 x \right)} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \left(- x^{2} + 2 x + 1\right) e^{2 x} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{\left(- 2 x^{2} + 6 x - 1\right) e^{2 x}}{4} + C\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \left(3 - x\right) \sqrt{5 x + 2} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{2 \left(5 x + 2\right)^{\frac{3}{2}} \left(15 x - 79\right)}{375} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \left(2 x^{2} + 5 x + 4\right) \cos{\left(x \right)} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \left(4 x + 5\right) \cos{\left(x \right)} + \left(2 x^{2} + 5 x\right) \sin{\left(x \right)} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + C\]
***********************************************************************************************

Wymierne

zadanie = gz.calka_wymierna(wlasciwy=choice([False, True]))
zadanie

('Obliczyć całkę\n\t\\[\n\t\t\\int \\frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{3} + 3 x^{2} + 16} \\, dx \n\t\\]\n',
 '$\\int \\left(\\frac{x - 1}{x^{2} - x + 4} + \\frac{1}{x + 4}\\right)\\,dx = \\ln{\\left(x + 4 \\right)} + \\frac{\\ln{\\left(x^{2} - x + 4 \\right)}}{2} - \\frac{\\sqrt{15} \\arctan{\\left(\\frac{2 \\sqrt{15} x}{15} - \\frac{\\sqrt{15}}{15} \\right)}}{15} + C$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć całkę
	\[
		\int \frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{3} + 3 x^{2} + 16} \, dx 
	\]

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\int \left(\frac{x - 1}{x^{2} - x + 4} + \frac{1}{x + 4}\right)\,dx = \ln{\left(x + 4 \right)} + \frac{\ln{\left(x^{2} - x + 4 \right)}}{2} - \frac{\sqrt{15} \arctan{\left(\frac{2 \sqrt{15} x}{15} - \frac{\sqrt{15}}{15} \right)}}{15} + C$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.calka_wymierna(wlasciwy=choice([False, True]))
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
    display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{x^{2} + 5 x + 2}{x^{3} - 3 x^{2} + 4 x - 12} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(\frac{2 - x}{x^{2} + 4} + \frac{2}{x - 3}\right)\,dx = 2 \ln{\left(x - 3 \right)} - \frac{\ln{\left(x^{2} + 4 \right)}}{2} + \arctan{\left(\frac{x}{2} \right)} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{- x^{2} - 10 x - 12}{x^{3} + 6 x^{2} - 32} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(- \frac{2}{\left(x + 4\right)^{2}} - \frac{1}{x - 2}\right)\,dx = - \ln{\left(x - 2 \right)} + \frac{2}{x + 4} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{2 x^{3} - 9 x^{2} + 5 x - 6}{x - 4} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(2 x^{2} - x + 1 - \frac{2}{x - 4}\right)\,dx = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + x - 2 \ln{\left(x - 4 \right)} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{x + 4}{x^{2} - x - 2} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(- \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x - 2}\right)\,dx = 2 \ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x + 1 \right)} + C\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{x^{6} - 5 x^{5} + 7 x^{4} + 12 x^{3} - 58 x^{2} + 82 x - 24}{x^{4} - 3 x^{3} + 8 x - 24} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(x^{2} - 2 x + \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 4} + 1 + \frac{3}{x + 2} + \frac{3}{x - 3}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x + \frac{\ln{\left(x^{2} - 2 x + 4 \right)}}{2} + 3 \ln{\left(x^{2} - x - 6 \right)} - \frac{\sqrt{3} \arctan{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int - \frac{1}{x^{2} + 8 x + 16} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(- \frac{1}{\left(x + 4\right)^{2}}\right)\,dx = \frac{1}{x + 4} + C\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{2 x^{6} - 2 x^{5} + 5 x^{4} - 8 x^{3} - x^{2} - 4 x}{x^{4} - 2 x^{3} + 4 x^{2} - 6 x + 3} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(2 x^{2} + 2 x - \frac{x}{x^{2} + 3} + 1 - \frac{1}{x - 1} - \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\,dx = \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + x - \ln{\left(x - 1 \right)} - \frac{\ln{\left(x^{2} + 3 \right)}}{2} + \frac{2}{x - 1} + C\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{2 x^{2} + 15 x + 30}{x^{3} + 10 x^{2} + 32 x + 32} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(- \frac{1}{\left(x + 4\right)^{2}} + \frac{2}{x + 2}\right)\,dx = 2 \ln{\left(x + 2 \right)} + \frac{1}{x + 4} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{x^{2} - 5 x - 11}{x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(\frac{1}{x + 4} - \frac{3}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\,dx = \ln{\left(x + 4 \right)} + \frac{3}{x - 1} + C\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Obliczyć całkę

\[ \int \frac{2}{x^{2} - 6 x + 9} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(\frac{2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)\,dx = - \frac{2}{x - 3} + C\]
***********************************************************************************************