Granice
Wskazówka
<- interaktywna sesja notebooka
from random import choice
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import generator_zadan.generatory as gz
print(gz.__version__)
0.2.11
ile_zadan_przykladowych = 10
Granice ciągów
zadanie = gz.granica_ciagu(typ=choice([0, 1, 2, 3, 4]))
zadanie
('Obliczyć granicę\n\t\\[\n\t\t\\lim\\limits_{n \\rightarrow \\infty} \\left(\\frac{4 n + 5}{4 n - 1}\\right)^{n + 4} \n\t\\]\n',
'$e^{\\frac{3}{2}}$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{4 n + 5}{4 n - 1}\right)^{n + 4}
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$e^{\frac{3}{2}}$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.granica_ciagu(typ=choice([0, 1, 2, 3, 4]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{- 3 n^{5} - 3 n^{3} - 3 n + 5}{- 3 n^{3} - 3 n^{2} - 2 n + 4} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\infty\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{- n^{3} - n + 4}{5 n^{5} + 4 n^{3} + 4 n^{2} - 3 n + 3} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3} + n + 5}{- n^{5} + 2 n + 4} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5 n - 3}{\sqrt{5 n^{2} - 3 n + 5}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\sqrt{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\sqrt{3 n^{2} - 3} - \sqrt{3 n^{2} + n + 1} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{\sqrt{3}}{6}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4^{n} + 3 \cdot 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} + 3 \cdot 4^{n}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\infty\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{- 2 \cdot 3^{n} + 3 \cdot 4^{n}}{4 \cdot 2^{n} - 2 \cdot 4^{n}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{3}{2}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + 3 n + 3} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{3 - 3 n}{\sqrt{5 n^{2} + 3 n - 1}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{3 \sqrt{5}}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n + 3}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 1}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[2\]
***********************************************************************************************
Granice funkcji
zadanie = gz.granica_funkcji(typ=choice([i for i in range(11)]))
zadanie
('Obliczyć granicę\n\t\\[\n\t\t\\lim\\limits_{x \\rightarrow \\infty}\\left( x^{\\frac{1}{x}} \\right)\n\t\\]\n',
'$1$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[
\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( x^{\frac{1}{x}} \right)
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$1$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.granica_funkcji(typ=choice(range(12)))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 - \sqrt{4 - 4 x}}{2 x} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{1}{2}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\left( x^{\frac{1}{x}} \right)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1 - x}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[e^{-1}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{- e^{x} + e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( \frac{1}{x \sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x^{2}} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{1}{6}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{x^{2}} \right)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{1}{3}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{x} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{- e^{x} + e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-2\]
***********************************************************************************************
Asymptoty
zadanie = gz.asymptoty(typ=choice(range(1, 11)))
zadanie
('Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji\n\t\\[\n\t\tf(x)= \\frac{3 x^{2} + 3}{3 x^{2} + x + 2}.\n\t\\]\n',
'$D_f\\colon \\mathbb{R}.$\\\\Asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=1.$ ')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[
f(x)= \frac{3 x^{2} + 3}{3 x^{2} + x + 2}.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$D_f\colon \mathbb{R}.$\\Asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=1.$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1,10):
zadanie = gz.asymptoty(typ=choice(range(1,11)))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex(zadanie[1].split('\\\\')[0]))
for i in range(1,len(zadanie[1].split('\\\\'))):
display(Markdown((zadanie[1].split('\\\\')[i].split('$')[0])))
display(Latex('$' + zadanie[1].split('\\\\')[i].split('$')[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{- x^{2} - x + 3}{- 2 x^{2} + x - 2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}.\]
Asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=\frac{1}{2}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{- x^{2} + 3 x - 2}{x - 2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{2\right\}.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=1 - x.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= - x e^{- \frac{1}{x}}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}.\]
Asymptota pionowa lewostronna w
\[x_0=0.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=1 - x.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{3 x^{2} - 2 x}{3 x}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=x - \frac{2}{3}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= 3 x - 2 + 2 e^{- x}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}.\]
Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu
\[y=3 x - 2.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{3 x^{2} + 3 x + 1}{- 2 x^{2} - 2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}.\]
Asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=- \frac{3}{2}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{e^{- x}}{x}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}.\]
Asymptota pionowa dwustronna w
\[x_0=0.\]
Asymptota pozioma w plus nieskończoności o równaniu
\[y=0.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= x - \operatorname{atan}{\left(x \right)}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}.\]
Asymptota ukośna w minus nieskończoności o równaniu
\[y=x + \frac{\pi}{2}.\]
Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu
\[y=x - \frac{\pi}{2}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= 2 x - e^{\frac{1}{x}} + 1.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}.\]
Asymptota pionowa prawostronna w
\[x_0=0.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=2 x.\]
***********************************************************************************************