Układy równań liniowych
Wskazówka
<- interaktywna sesja notebooka
from random import choice
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import generator_zadan.generatory as gz
print(gz.__version__)
0.2.10
ile_zadan_przykladowych = 10
Układ Cramera
zadanie = gz.uklad_Cramera(wymiar=choice([2, 3, 4, 5]))
zadanie
('Z układu równań wyznaczyć niewiadomą $z$\n\t\\[\n\t\t\\left\\{\n\t\t\t\\begin{matrix}\n\t\t\t\t4 x + z = -2 \\\\ \n\t\t\t\t2 x + y + z = 4 \\\\ \n\t\t\t\tz = -1 \\\\ \n\t\t\t\\end{matrix}\n\t\t\\right.\n\t\\]',
'$\\det(A) = 4,\\ \\det(A_z)=-4,\\ z = -1$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą $z$
\[
\left\{
\begin{matrix}
4 x + z = -2 \\
2 x + y + z = 4 \\
z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\det(A) = 4,\ \det(A_z)=-4,\ z = -1$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.uklad_Cramera(wymiar=choice([2, 3, 4, 5]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].split('$')[0] +
'*' + zadanie[0].split('$')[1].split('$')[0] + '*'))
display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex(zadanie[1].replace('$ \\\\ \n\t$', ',\\quad ').replace('$', '$$')))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą x
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 2 t - 2 x + 3 y + 3 z = -3 \\
t + x - y - 2 z = 2 \\
- 2 t + 2 x + 2 y + 3 z = 3 \\
- 3 t + 4 x + 4 y + 4 z = -3 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 3,\ \det(A_x)=-5,\ x = - \frac{5}{3}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą x
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
t + 4 u + 3 x - 3 y + 2 z = -3 \\
4 u - x + 3 y = 0 \\
- u - x - 3 y = 0 \\
- t - u + x + 2 y = 0 \\
2 t + 3 u - 3 x + 2 y - z = 1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 7,\ \det(A_x)=9,\ x = \frac{9}{7}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą y
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
x + y = 4 \\
- 2 x + 2 y = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 4,\ \det(A_y)=7,\ y = \frac{7}{4}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą y
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
3 x + 2 y = -1 \\
- x + y = 1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 5,\ \det(A_y)=2,\ y = \frac{2}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą z
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- t - 2 u + x + 2 y = -1 \\
3 t - 3 u + 3 x - 2 y = -3 \\
- t + 3 u - 3 x + 2 z = 4 \\
4 t - 2 u + x - z = 1 \\
- t + 4 u - 3 x + y - 3 z = 3 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -6,\ \det(A_z)=-5,\ z = \frac{5}{6}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą t
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
t + 3 u - x + y + 3 z = 2 \\
4 u + 3 x + 4 y + 3 z = -1 \\
4 t + 2 u - 3 x + 3 y + z = 1 \\
4 t + 4 y - z = -1 \\
- 2 t + 4 u - x + 2 y + 2 z = -2 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -6,\ \det(A_t)=-4,\ t = \frac{2}{3}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą z
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
2 t + 2 x + 3 y + 3 z = 0 \\
2 t + 2 x + 3 y + 4 z = 1 \\
- 2 t - 3 x - 2 y - 2 z = 1 \\
- x - 3 y + z = 1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 8,\ \det(A_z)=8,\ z = 1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą y
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 3 x + y + 4 z = 1 \\
- 3 x - 3 y + 3 z = -3 \\
2 x - 3 y - 3 z = 1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = 3,\ \det(A_y)=-9,\ y = -3\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą y
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 3 x - 3 y = 2 \\
- 3 x - y = 4 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -6,\ \det(A_y)=-6,\ y = 1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Z układu równań wyznaczyć niewiadomą t
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- t - u + 3 x + z = -1 \\
- 2 t + u + 3 x + 3 z = -1 \\
3 t - 2 u + 3 x + 4 y + 3 z = 3 \\
t - u - x - 2 z = 0 \\
t + 2 y - 2 z = -2 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\det(A) = -6,\ \det(A_t)=-4,\ t = \frac{2}{3}\]
***********************************************************************************************
Układ nieoznaczony
zadanie = gz.uklad_rownan_nieoznaczony()
zadanie
('Rozwiązać układ równań.\\ Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania.\\ Jedno rozwiązanie sprawdzić. \n\t\\[\n\t\t\\left\\{\n\t\t\t\\begin{matrix}\n\t\t\t\t2 t - 2 x - 4 y + 4 z = -6 \\\\ \n\t\t\t\t- t + 2 x + 3 y - 2 z = 4 \\\\ \n\t\t\t\t4 t - 4 x - 3 y - 2 z = 8 \\\\ \n\t\t\t\t- 3 t + 3 x + 3 y = -3 \\\\ \n\t\t\t\t2 t - 2 x - 2 y = 2 \\\\ \n\t\t\t\\end{matrix}\n\t\t\\right.\n\t\\]',
'$\\left\\{ t = 2, \\ x = - 2 z - 3, \\ y = 2 z + 4\\right\\}$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać układ równań.\ Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania.\ Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[
\left\{
\begin{matrix}
2 t - 2 x - 4 y + 4 z = -6 \\
- t + 2 x + 3 y - 2 z = 4 \\
4 t - 4 x - 3 y - 2 z = 8 \\
- 3 t + 3 x + 3 y = -3 \\
2 t - 2 x - 2 y = 2 \\
\end{matrix}
\right.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\left\{ t = 2, \ x = - 2 z - 3, \ y = 2 z + 4\right\}$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.uklad_rownan_nieoznaczony()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\ ', ' ')))
display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex(zadanie[1].replace('$ \\\\ \n\t$', ',\\quad ').replace('$', '$$')))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- t + 2 x + y + 2 z = -1 \\
- 2 x - y - 2 z = -1 \\
t - 2 x - 2 y - 6 z = -2 \\
t + 5 x + 3 y + 7 z = 6 \\
3 x + 2 y + 5 z = 3 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = 2, \ x = z - 1, \ y = 3 - 4 z\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 6 t - 3 x - 3 y + 3 z = -3 \\
- 4 t - x + y = -4 \\
4 t + 2 x + 2 y - z = 1 \\
4 t + x - y = 4 \\
- t - x - 2 y + z = 1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = y + 2, \ x = - 3 y - 4, \ z = -1\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 2 t + 2 x + 2 z = -4 \\
7 t - 4 x - 2 y - 3 z = 1 \\
- 6 t + 2 x + 2 y + 2 z = 2 \\
- 7 t + 3 x + 2 y + 3 z = 0 \\
- 4 t + 2 x + y + 2 z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = z + 1, \ x = -1, \ y = 2 z + 5\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- t + x + z = -2 \\
- 4 t + x + 2 y + 2 z = 1 \\
6 t - x - y - 5 z = 4 \\
- 7 t + 2 x + y + 6 z = -6 \\
- 3 t + x + 3 z = -4 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = z + 1, \ x = -1, \ y = z + 3\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 2 t + 4 x - 2 y - 2 z = -4 \\
x + 2 y - 8 z = -5 \\
t + x + y - 5 z = -1 \\
2 t - 2 x + 4 y - 8 z = -2 \\
- t + 2 x - 2 y + 2 z = 0 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = 2, \ x = 2 z - 1, \ y = 3 z - 2\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 2 t + 4 x - 3 y = 4 \\
2 t - 4 x + 4 y + 4 z = 0 \\
2 t - 3 x + 3 y + 3 z = -1 \\
- t + x - 2 y - 5 z = -3 \\
2 t - 3 x + 4 y + 7 z = 3 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = -2, \ x = 3 - 3 z, \ y = 4 - 4 z\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
3 t - 3 x + y + 6 z = -9 \\
- 3 t + 2 x + y - 9 z = -1 \\
t - x + 3 z = -2 \\
2 t - 2 x + 6 z = -4 \\
- t + x + y - 6 z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = 2, \ x = 3 z + 4, \ y = 3 z - 3\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 2 t - x + 2 y - z = 5 \\
- 3 x + 3 y - 2 z = 8 \\
- 2 t + 3 x - 2 y + z = -7 \\
- 2 t + 2 x - y - z = -7 \\
2 t - 2 x + y = 5 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = \frac{y}{2} - \frac{3}{2}, \ x = y - 4, \ z = 2\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 5 t - 3 x + 4 y + 3 z = -4 \\
- 3 t - 5 x + 4 y + 4 z = -3 \\
2 t - y = 1 \\
t + x - y - z = 1 \\
- 2 t - 2 x + 2 y + 2 z = -2 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = \frac{y}{2} + \frac{1}{2}, \ x = \frac{y}{2} - \frac{1}{2}, \ z = -1\right\}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Rozwiązać układ równań. Jeśli możliwe podać trzy przykładowe rozwiązania. Jedno rozwiązanie sprawdzić.
\[\begin{split}
\left\{
\begin{matrix}
- 4 t - x - y + z = 1 \\
3 t + x + y = 2 \\
t + x - z = -4 \\
4 t + 2 x + y - z = -2 \\
4 t + x + y - z = -1 \\
\end{matrix}
\right.
\end{split}\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left\{ t = z - 3, \ x = -1, \ y = 12 - 3 z\right\}\]
***********************************************************************************************