Całki nieoznaczone
- interaktywna sesja notebooka
Przez podstawienie i przez części
from random import choice
from IPython.display import Latex, Markdown
import generator_zadan.generatory as gz
print(gz.__version__)
0.2.10
ile_zadan_przykladowych = 10
zadanie = gz.calka_nieoznaczona(typ=choice([1, 2, 3, 4]))
zadanie
('Obliczyć całkę\n\t\\[\n\t\t\\int - \\frac{3}{\\left(- 3 x - 2\\right)^{6}} \\, dx \n\t\\]\n',
'$\\int - \\frac{3}{\\left(- 3 x - 2\\right)^{6}}\\,dx = \\frac{1}{5 \\left(3 x + 2\\right)^{5}} + C$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[
\int - \frac{3}{\left(- 3 x - 2\right)^{6}} \, dx
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\int - \frac{3}{\left(- 3 x - 2\right)^{6}}\,dx = \frac{1}{5 \left(3 x + 2\right)^{5}} + C$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.calka_nieoznaczona(typ=choice([1, 2, 3, 4]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('=')[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int - \frac{2}{\left(2 x + 4\right)^{3}} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{1}{8 \left(x + 2\right)^{2}} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \left(x - 2\right) \sqrt{3 x - 3} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{2 \sqrt{3} \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 8\right)}{15} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int - \frac{2}{\left(5 x + 3\right)^{6}} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{2}{25 \left(5 x + 3\right)^{5}} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \left(x^{2} + 3\right) \sin{\left(3 x \right)} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{2 x \sin{\left(3 x \right)}}{9} + \left(- \frac{x^{2}}{3} - \frac{25}{27}\right) \cos{\left(3 x \right)} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \left(4 - 2 x\right) \sqrt{3 x + 1} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ - \frac{4 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(9 x - 32\right)}{135} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \left(2 x - 2\right) \sqrt{3 x + 4} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{4 \left(3 x + 4\right)^{\frac{3}{2}} \left(9 x - 23\right)}{135} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \sqrt{x + 2} \left(5 x - 2\right) \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ 2 \left(x - 2\right) \left(x + 2\right)^{\frac{3}{2}} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \sqrt{x + 1} \left(5 x - 3\right) \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{2 \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(3 x - 5\right)}{3} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \left(x - 3\right) \sqrt{5 x + 1} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \frac{2 \left(5 x + 1\right)^{\frac{3}{2}} \left(15 x - 77\right)}{375} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \left(4 x^{2} + x - 3\right) \cos{\left(2 x \right)} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \left(2 x + \frac{1}{4}\right) \cos{\left(2 x \right)} + \left(2 x^{2} + \frac{x}{2} - \frac{5}{2}\right) \sin{\left(2 x \right)} + C\]
***********************************************************************************************
Wymierne
zadanie = gz.calka_wymierna(wlasciwy=choice([False, True]))
zadanie
('Obliczyć całkę\n\t\\[\n\t\t\\int \\frac{2}{x - 4} \\, dx \n\t\\]\n',
'$\\int \\left(\\frac{2}{x - 4}\\right)\\,dx = 2 \\ln{\\left(x - 4 \\right)} + C$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[
\int \frac{2}{x - 4} \, dx
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\int \left(\frac{2}{x - 4}\right)\,dx = 2 \ln{\left(x - 4 \right)} + C$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.calka_wymierna(wlasciwy=choice([False, True]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{- x^{6} + 7 x^{5} - 18 x^{4} + 15 x^{3} + 15 x^{2} - 30 x + 10}{x^{4} - 7 x^{3} + 19 x^{2} - 24 x + 12} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(- x^{2} + \frac{- 2 x - 2}{x^{2} - 3 x + 3} + 1 + \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)\,dx = - \frac{x^{3}}{3} + x - \ln{\left(x^{2} - 3 x + 3 \right)} - \frac{10 \sqrt{3} \arctan{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} - \sqrt{3} \right)}}{3} - \frac{2}{x - 2} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{- x^{5} + 3 x^{4} + x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 5}{x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 6} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(- x^{2} - 2 x + \frac{1 - x}{x^{2} - 2 x + 2} - 1 + \frac{1}{x - 3}\right)\,dx = - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - x + \ln{\left(x - 3 \right)} - \frac{\ln{\left(x^{2} - 2 x + 2 \right)}}{2} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{2 x^{4} + 13 x^{3} + 25 x^{2} + 15 x + 7}{x^{2} + 6 x + 9} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(2 x^{2} + x + 1 - \frac{2}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)\,dx = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x + \frac{2}{x + 3} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{x^{5} + 5 x^{4} + 8 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 4}{x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(x^{2} + 2 x + \frac{2 - 2 x}{x^{2} + 2 x + 2} - 2 + \frac{3}{x + 1}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 2 x + 3 \ln{\left(x + 1 \right)} - \ln{\left(x^{2} + 2 x + 2 \right)} + 4 \arctan{\left(x + 1 \right)} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{3 x^{2} - 7 x}{x^{3} + x^{2} - 5 x + 3} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(\frac{3}{x + 3} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)\,dx = 3 \ln{\left(x + 3 \right)} + \frac{1}{x - 1} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{- 2 x^{2} - 9 x - 12}{x^{3} + 8 x^{2} + 21 x + 18} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(\frac{3}{\left(x + 3\right)^{2}} - \frac{2}{x + 2}\right)\,dx = - 2 \ln{\left(x + 2 \right)} - \frac{3}{x + 3} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{2 x^{4} - 14 x^{3} + 15 x^{2} + 38 x - 7}{x^{2} - 8 x + 16} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(2 x^{2} + 2 x - 1 - \frac{2}{x - 4} + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)\,dx = \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} - x - 2 \ln{\left(x - 4 \right)} - \frac{1}{x - 4} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{2 x^{6} + 10 x^{5} + 14 x^{4} + 23 x^{3} + 31 x^{2} - 75 x - 6}{x^{4} + 6 x^{3} + 13 x^{2} + 24 x + 36} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(2 x^{2} - 2 x + \frac{x - 2}{x^{2} + 4} + \frac{3}{\left(x + 3\right)^{2}}\right)\,dx = \frac{2 x^{3}}{3} - x^{2} + \frac{\ln{\left(x^{2} + 4 \right)}}{2} - \arctan{\left(\frac{x}{2} \right)} - \frac{3}{x + 3} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{2 x^{6} - 18 x^{5} + 49 x^{4} - 39 x^{3} + 13 x^{2} - 18 x + 66}{x^{4} - 10 x^{3} + 34 x^{2} - 48 x + 32} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(2 x^{2} + 2 x + \frac{2 - x}{x^{2} - 2 x + 2} + 1 + \frac{1}{\left(x - 4\right)^{2}}\right)\,dx = \frac{2 x^{3}}{3} + x^{2} + x - \frac{\ln{\left(x^{2} - 2 x + 2 \right)}}{2} + \arctan{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{x - 4} + C\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć całkę
\[ \int \frac{x^{2} - 6}{x^{4} - 10 x^{3} + 37 x^{2} - 60 x + 36} \, dx \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\int \left(- \frac{2}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{3}{\left(x - 3\right)^{2}}\right)\,dx = - \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6} + C\]
***********************************************************************************************