Geometria analityczna
Wskazówka
<- interaktywna sesja notebooka
from random import choice
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import generator_zadan.generatory as gz
print(gz.__version__)
0.2.10
ile_zadan_przykladowych = 10
Równanie prostej w R^3
zadanie = gz.rownanie_prostej()
zadanie
('Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty\n\t\\[\n\t\tP_1 = (2, -1, 3), \\quad P_2 = (-3, -2, 3).\n\t\\]\n\tObliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu\n\t\\[\n\t\tP_3 = (2, -1, 2).\n\t\\]',
'$l\\colon \\frac{x - 2}{-5}= \\frac{y + 1}{-1}= \\frac{z - 3}{0}; \\qquad d(P_3,l) = 1$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[
P_1 = (2, -1, 3), \quad P_2 = (-3, -2, 3).
\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[
P_3 = (2, -1, 2).
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$l\colon \frac{x - 2}{-5}= \frac{y + 1}{-1}= \frac{z - 3}{0}; \qquad d(P_3,l) = 1$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.rownanie_prostej()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-3, 4, -3), \quad P_2 = (-1, 4, -1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (1, 5, 1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 3}{2}= \frac{y - 4}{0}= \frac{z + 3}{2}; \qquad d(P_3,l) = 1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (5, 3, 1), \quad P_2 = (2, -2, 1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (2, -2, 1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 5}{-3}= \frac{y - 3}{-5}= \frac{z - 1}{0}; \qquad d(P_3,l) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-1, 4, 1), \quad P_2 = (-2, 4, -2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-1, -2, 1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 1}{-1}= \frac{y - 4}{0}= \frac{z - 1}{-3}; \qquad d(P_3,l) = 6\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-2, -1, 4), \quad P_2 = (-2, 4, -3).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (2, -1, 4).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 2}{0}= \frac{y + 1}{5}= \frac{z - 4}{-7}; \qquad d(P_3,l) = 4\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (3, 2, 5), \quad P_2 = (-2, 4, -2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-2, 4, -2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 3}{-5}= \frac{y - 2}{2}= \frac{z - 5}{-7}; \qquad d(P_3,l) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-1, -2, 2), \quad P_2 = (2, 2, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (-3, 2, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 1}{3}= \frac{y + 2}{4}= \frac{z - 2}{0}; \qquad d(P_3,l) = 5\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-2, -3, -3), \quad P_2 = (-2, 3, -1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (4, 3, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 2}{0}= \frac{y + 3}{6}= \frac{z + 3}{2}; \qquad d(P_3,l) = 6\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-3, -1, 4), \quad P_2 = (-3, -2, -2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (1, -2, -2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x + 3}{0}= \frac{y + 1}{-1}= \frac{z - 4}{-6}; \qquad d(P_3,l) = 4\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (1, 2, 1), \quad P_2 = (4, -1, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (1, 2, 1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 1}{3}= \frac{y - 2}{-3}= \frac{z - 1}{1}; \qquad d(P_3,l) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (4, 2, 3), \quad P_2 = (3, 5, 3).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej prostej od punktu
\[ P_3 = (5, -1, -2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[l\colon \frac{x - 4}{-1}= \frac{y - 2}{3}= \frac{z - 3}{0}; \qquad d(P_3,l) = 5\]
***********************************************************************************************
Równanie płaszczyzny w R^3
zadanie = gz.rownanie_plaszczyzny()
zadanie
('Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty\n\t\\[\n\t\tP_1 = (2, 4, 2), \\quad P_2 = (-2, 4, 2), \\quad P_3 = (-3, 0, -1).\n\t\\]\n\tObliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu\n\t\\[\n\t\tP_4 = (5, 0, 1).\n\t\\]',
'$\\pi\\colon - 12 y + 16 z + 16=0; \\qquad d(P_4,\\pi) = \\frac{8}{5}$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[
P_1 = (2, 4, 2), \quad P_2 = (-2, 4, 2), \quad P_3 = (-3, 0, -1).
\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[
P_4 = (5, 0, 1).
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\pi\colon - 12 y + 16 z + 16=0; \qquad d(P_4,\pi) = \frac{8}{5}$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.rownanie_plaszczyzny()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (1, 3, 2), \quad P_2 = (-1, -1, 0), \quad P_3 = (2, 1, -1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (-2, 0, 2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 8 x - 8 y + 8 z=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (1, 3, 0), \quad P_2 = (2, -2, -3), \quad P_3 = (0, 4, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (-1, -3, 2).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 7 x + y - 4 z + 4=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-3, 1, 3), \quad P_2 = (4, 1, 2), \quad P_3 = (-3, -3, -2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (4, 4, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 4 x + 35 y - 28 z + 37=0; \qquad d(P_4,\pi) = \frac{21}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (2, -3, -1), \quad P_2 = (4, -1, 0), \quad P_3 = (-1, 5, 5).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (-1, 5, 5).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 4 x - 15 y + 22 z - 31=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (3, 3, 1), \quad P_2 = (5, 5, 1), \quad P_3 = (1, 5, 5).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (5, 4, 0).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 8 x - 8 y + 8 z - 8=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (0, 0, -3), \quad P_2 = (0, -2, -2), \quad P_3 = (-3, -1, 3).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (-3, -1, 3).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 11 x - 3 y - 6 z - 18=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-1, 1, 4), \quad P_2 = (-3, 2, -1), \quad P_3 = (1, 2, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (5, 2, 5).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 3 x - 14 y - 4 z + 33=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-1, 5, -3), \quad P_2 = (5, -3, 2), \quad P_3 = (2, 1, -2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (1, 1, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 12 x + 9 y - 33=0; \qquad d(P_4,\pi) = \frac{4}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (-1, -1, 1), \quad P_2 = (3, 2, -1), \quad P_3 = (0, 2, -1).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (1, 2, -1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon 6 y + 9 z - 3=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty
\[ P_1 = (5, 2, 4), \quad P_2 = (3, 3, 2), \quad P_3 = (3, 1, 2).\]
Obliczyć odległość wyznaczonej płaszczyzny od punktu
\[ P_4 = (2, -2, 1).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\pi\colon - 4 x + 4 z + 4=0; \qquad d(P_4,\pi) = 0\]
***********************************************************************************************
Punkty symetryczny do płaszczyzny
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_plaszczyzny()
zadanie
('Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu\n\t\\[\n\t\tP = (-1, -3, -1)\n\t\\]\n\twzględem płaszczyzny\n\t\\[\n\t\t\\pi\\colon x + y + z - 1 = 0.\n\t\\]',
'Prosta prostopadła: $ \\frac{x + 1}{1}= \\frac{y + 3}{1}= \\frac{z + 1}{1}= t,$ \\quad $t_p=2$ \\\\\nPunkt przecięcia to: $P_p =(1,-1,1),$ \\quad \nPunkt symetryczny to: $P_s = (3,1,3)$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[
P = (-1, -3, -1)
\]
względem płaszczyzny
\[
\pi\colon x + y + z - 1 = 0.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła: $ \frac{x + 1}{1}= \frac{y + 3}{1}= \frac{z + 1}{1}= t,$ \quad $t_p=2$ \\
Punkt przecięcia to: $P_p =(1,-1,1),$ \quad
Punkt symetryczny to: $P_s = (3,1,3)$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_plaszczyzny()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[0]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[1] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[4][2:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[5] + ' \quad ' + zadanie[1].split('$')[3] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[6][6:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[7] + '$$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-3, 2, -2)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x - y + 2 z - 3 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x + 3}{1}= \frac{y - 2}{-1}= \frac{z + 2}{2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,0,2), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (1,-2,6)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (2, 5, 3)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + 2 y + z - 3 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 2}{1}= \frac{y - 5}{2}= \frac{z - 3}{1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(0,1,1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-2,-3,-1)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, 2, -1)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + y + z + 4 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 4}{1}= \frac{y - 2}{1}= \frac{z + 1}{1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,-1,-4), \quad t_p=-3\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-2,-4,-7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, 3, 1)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + y + z - 2 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 4}{1}= \frac{y - 3}{1}= \frac{z - 1}{1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(2,1,-1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (0,-1,-3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (2, 5, 4)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon - x - y - 2 z + 3 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 2}{-1}= \frac{y - 5}{-1}= \frac{z - 4}{-2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(0,3,0), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-2,1,-4)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (5, 1, 1)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon 2 x + y + 2 z + 5 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 5}{2}= \frac{y - 1}{1}= \frac{z - 1}{2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,-1,-3), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-3,-3,-7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (1, 5, 3)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x - 2 y - 2 z - 3 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 1}{1}= \frac{y - 5}{-2}= \frac{z - 3}{-2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,1,-1), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (5,-3,-5)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (3, 5, 1)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x + y + z + 3 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 3}{1}= \frac{y - 5}{1}= \frac{z - 1}{1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,1,-3), \quad t_p=-4\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-5,-3,-7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-2, -1, 3)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon - 2 x - y + z + 4 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x + 2}{-2}= \frac{y + 1}{-1}= \frac{z - 3}{1}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(2,1,1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (6,3,-1)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (5, -1, 5)\]
względem płaszczyzny
\[ \pi\colon x - 2 y + 2 z + 1 = 0.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Prosta prostopadła:
\[ \frac{x - 5}{1}= \frac{y + 1}{-2}= \frac{z - 5}{2}= t,\]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,3,1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (1,7,-3)\]
***********************************************************************************************
Punkt symetryczny do prostej
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_prostej()
zadanie
('Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu\n\t\\[\n\t\tP = (-2, 1, -2)\n\t\\]\n\twzględem prostej\n\t\\[\n\t\tl\\colon \\frac{x - 3}{3}= \\frac{y - 2}{-1}= \\frac{z - 5}{2}.\n\t\\]',
'Płaszczyzna prostopadła: $\\pi\\colon 3 x - y + 2 z + 11 = 0, \\quad t_p=-2$ \\\\\n\t\t\t\tPunkt przecięcia to: $P_p =(-3,4,1),$ \\quad \n\t\t\t\tPunkt symetryczny to: $P_s = (-4,7,4)$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[
P = (-2, 1, -2)
\]
względem prostej
\[
l\colon \frac{x - 3}{3}= \frac{y - 2}{-1}= \frac{z - 5}{2}.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła: $\pi\colon 3 x - y + 2 z + 11 = 0, \quad t_p=-2$ \\
Punkt przecięcia to: $P_p =(-3,4,1),$ \quad
Punkt symetryczny to: $P_s = (-4,7,4)$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.punkt_symetryczny_do_prostej()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[6]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[0]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[1].split('\\quad')[0] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[2][8:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[3] + ' \quad ' + zadanie[1].split('$')[1].split('\quad')[1] + '$$'))
display(Markdown(zadanie[1].split('$')[4][12:]))
display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[5] + '$$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, -2, -3)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 3}{-1}= \frac{y - 1}{1}= \frac{z - 1}{2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x + y + 2 z + 12 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(5,-1,-3), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (6,0,-3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (5, -3, 5)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 3}{-1}= \frac{y + 3}{-1}= \frac{z + 3}{1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x - y + z - 3 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,-5,-1), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-3,-7,-7)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (2, 1, -3)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 3}{-2}= \frac{y + 3}{-1}= \frac{z - 4}{4}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - 2 x - y + 4 z + 17 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,-1,-4), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (0,-3,-5)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (1, -2, -2)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 3}{-2}= \frac{y - 5}{2}= \frac{z - 3}{1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - 2 x + 2 y + z + 8 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,-1,0), \quad t_p=-3\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (5,0,2)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-3, -2, 3)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 1}{1}= \frac{y - 3}{1}= \frac{z - 3}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon x + y - z + 8 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-2,0,6), \quad t_p=-3\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-1,2,9)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (5, 2, -3)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 3}{2}= \frac{y + 1}{2}= \frac{z - 2}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon 2 x + 2 y - z - 17 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(3,5,-1), \quad t_p=3\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (1,8,1)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, -1, 1)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 2}{-1}= \frac{y + 3}{1}= \frac{z - 5}{2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x + y + 2 z + 3 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(0,-5,1), \quad t_p=-2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-4,-9,1)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (-1, 1, -2)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 1}{-1}= \frac{y - 1}{-1}= \frac{z - 3}{-2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x - y - 2 z - 4 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(-1,-1,-1), \quad t_p=2\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-1,-3,0)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, -3, 1)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x - 1}{1}= \frac{y - 5}{-1}= \frac{z + 3}{1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon x - y + z - 8 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(6,0,2), \quad t_p=5\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (8,3,3)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu
\[ P = (4, 3, 4)\]
względem prostej
\[ l\colon \frac{x + 2}{-1}= \frac{y + 1}{1}= \frac{z + 3}{-1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna prostopadła:
\[\pi\colon - x + y - z + 5 = 0, \]
Punkt przecięcia to:
\[P_p =(1,-4,0), \quad t_p=-3\]
Punkt symetryczny to:
\[P_s = (-2,-11,-4)\]
***********************************************************************************************
Proste skośne
zadanie = gz.odleglosc_prostych_skosnych()
zadanie
('Obliczyć odległość prostych skośnych\n\t\\[\n\t\tl_1\\colon \\frac{x + 3}{-2}=\\frac{y + 3}{3}=\\frac{z - 5}{2}, \\quad \n\t\tl_2\\colon \\frac{x - 1}{2}=\\frac{y - 4}{3}=\\frac{z - 5}{4}.\n\t\\]\tWyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.',
'Płaszczyzna zawierająca $l_2$ i równoległa do $l_1$ to $\\pi\\colon 6 x + 12 y - 12 z + 6=0$;\\\\$d(l_1,l_2)=6;$\\quad Punkty realizujące minimalną odległość to:\\ $ P_3=(-3,-3,5),\\ P_4=(-1,1,1)$.\n')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[
l_1\colon \frac{x + 3}{-2}=\frac{y + 3}{3}=\frac{z - 5}{2}, \quad
l_2\colon \frac{x - 1}{2}=\frac{y - 4}{3}=\frac{z - 5}{4}.
\] Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca $l_2$ i równoległa do $l_1$ to $\pi\colon 6 x + 12 y - 12 z + 6=0$;\\$d(l_1,l_2)=6;$\quad Punkty realizujące minimalną odległość to:\ $ P_3=(-3,-3,5),\ P_4=(-1,1,1)$.
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.odleglosc_prostych_skosnych()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[3]) + '$$'))
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4][3:]))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Markdown('Płaszczyzna zawierająca *l<sub>2</sub>* i równoległa do *l<sub>1</sub>* to'))
display(Latex('$$' + (zadanie[1].split('$')[5]) + '$$'))
display(Markdown('Odległość prostych skośnych to'))
display(Latex('$$' + (zadanie[1].split('$')[7]) + '$$'))
display(Markdown('Punkty realizujące minimalną odległość to'))
display(Latex('$$' + (zadanie[1].split('$')[9]).replace('\\ ', '\qquad ') + '$$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 4}{4}=\frac{y + 2}{-2}=\frac{z + 2}{4}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 5}{-2}=\frac{y + 2}{2}=\frac{z - 3}{-3}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - 2 x + 4 y + 4 z + 6=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(4,-2,-2),\qquad P_4=(3,0,0)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 3}{3}=\frac{y - 1}{5}=\frac{z - 1}{4}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 3}{-1}=\frac{y + 3}{-2}=\frac{z - 2}{-2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon - 2 x + 2 y - z + 14=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-3,-9,-7),\qquad P_4=(-1,-11,-6)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x + 1}{-1}=\frac{y - 3}{-2}=\frac{z + 3}{2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 4}{-2}=\frac{y + 2}{-3}=\frac{z + 1}{2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 2 x - 2 y - z - 13=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=6;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-6,-7,7),\qquad P_4=(-2,-11,5)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 4}{-3}=\frac{y + 1}{2}=\frac{z + 3}{-2}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 5}{-3}=\frac{y - 4}{4}=\frac{z - 5}{-1}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 6 x + 3 y - 6 z - 12=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(19,-11,7),\qquad P_4=(17,-12,9)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 5}{2}=\frac{y + 1}{2}=\frac{z + 1}{3}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x + 1}{-1}=\frac{y - 1}{-2}=\frac{z - 3}{-2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 2 x + y - 2 z + 7=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=6;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-3,-9,-13),\qquad P_4=(-7,-11,-9)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 5}{2}=\frac{y - 5}{3}=\frac{z - 2}{4}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 1}{4}=\frac{y + 2}{3}=\frac{z - 1}{4}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 8 y - 6 z + 22=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=5;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(5,5,2),\qquad P_4=(5,1,5)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x - 2}{-2}=\frac{y - 1}{4}=\frac{z + 1}{3}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x + 1}{4}=\frac{y - 3}{1}=\frac{z - 4}{3}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 9 x + 18 y - 18 z + 27=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(0,5,2),\qquad P_4=(-1,3,4)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x + 3}{2}=\frac{y - 4}{2}=\frac{z + 1}{3}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 4}{2}=\frac{y - 5}{1}=\frac{z + 1}{2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon x + 2 y - 2 z - 16=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-11,-4,-13),\qquad P_4=(-10,-2,-15)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x + 3}{1}=\frac{y - 1}{4}=\frac{z + 2}{3}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 2}{1}=\frac{y + 2}{2}=\frac{z + 3}{2}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 2 x + y - 2 z - 8=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=3;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(-8,-19,-17),\qquad P_4=(-6,-18,-19)\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć odległość prostych skośnych
\[ l_1\colon \frac{x + 1}{4}=\frac{y + 1}{-2}=\frac{z - 3}{4}, \quad \]
\[ l_2\colon \frac{x - 5}{4}=\frac{y + 1}{-3}=\frac{z + 3}{5}.\]
Wyznaczyć punkty realizujące minimalną odległość.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
Płaszczyzna zawierająca l2 i równoległa do l1 to
\[\pi\colon 2 x - 4 y - 4 z - 26=0\]
Odległość prostych skośnych to
\[d(l_1,l_2)=6;\]
Punkty realizujące minimalną odległość to
\[ P_3=(27,-15,31),\qquad P_4=(29,-19,27)\]
***********************************************************************************************
Kąty w trójkącie
zadanie = gz.katy_w_trojkacie(prosty=choice([False, True]), calkowite=choice([False, True]))
zadanie
('Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta $ABC,$ gdzie\n\t\\[\n\t\tA = (5, 2, 0),\\ B = (-1, -2, -2),\\ C = (4, -1, 2)\n\t\\]\n\tSprawdzić, czy sumują się do $180^{\\circ}.$\\\\',
'$\\alpha = 60.00^{\\circ},\\ \\beta = 30.00^{\\circ},\\ \\gamma = 90.00^{\\circ}.$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta $ABC,$ gdzie
\[
A = (5, 2, 0),\ B = (-1, -2, -2),\ C = (4, -1, 2)
\]
Sprawdzić, czy sumują się do $180^{\circ}.$\\
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\alpha = 60.00^{\circ},\ \beta = 30.00^{\circ},\ \gamma = 90.00^{\circ}.$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.katy_w_trojkacie(prosty=choice([False, True]), calkowite=choice([False, True]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown('Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta *ABC*, gdzie'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
display(Markdown('Sprawdzić, czy sumują się do 180\u00b0.'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (1, 1, 1),\ B = (-2, 1, 4),\ C = (0, 3, 3)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 45.00^{\circ},\ \beta = 45.00^{\circ},\ \gamma = 90.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (-2, 1, 1),\ B = (0, -2, 2),\ C = (-3, -1, 4)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 60.00^{\circ},\ \beta = 60.00^{\circ},\ \gamma = 60.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (1, 1, 2),\ B = (-3, 5, 4),\ C = (-3, 2, 1)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 45.00^{\circ},\ \beta = 45.00^{\circ},\ \gamma = 90.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (1, 2, 4),\ B = (4, -1, 0),\ C = (4, -3, 3)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha \approx 35.74^{\circ},\ \beta \approx 73.42^{\circ},\ \gamma \approx 70.84^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (-1, -1, -2),\ B = (0, -1, -1),\ C = (-1, -2, -1)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 60.00^{\circ},\ \beta = 60.00^{\circ},\ \gamma = 60.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (3, -3, 1),\ B = (2, 0, 5),\ C = (-3, 1, -2)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha \approx 81.33^{\circ},\ \beta \approx 63.07^{\circ},\ \gamma \approx 35.60^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (1, -1, 1),\ B = (0, 4, -3),\ C = (4, -2, -1)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 90.00^{\circ},\ \beta = 30.00^{\circ},\ \gamma = 60.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (1, 3, 4),\ B = (3, -2, 1),\ C = (-2, 1, -1)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 60.00^{\circ},\ \beta = 60.00^{\circ},\ \gamma = 60.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (5, 2, 4),\ B = (4, 2, 1),\ C = (1, 2, 2)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 45.00^{\circ},\ \beta = 90.00^{\circ},\ \gamma = 45.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć miary kątów wewnętrznych trójkąta ABC, gdzie
\[ A = (4, 0, -3),\ B = (4, 4, 1),\ C = (4, 4, -3)\]
Sprawdzić, czy sumują się do 180°.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\alpha = 45.00^{\circ},\ \beta = 45.00^{\circ},\ \gamma = 90.00^{\circ}.\]
***********************************************************************************************
Pole trójkąta
zadanie = gz.pole_trojkata(calkowite=choice([False, True]))
zadanie
('Wyznaczyć pole trójkąta $ABC$ oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B dla\n\t\\[\n\t\tA = (-3, 3, -1),\\ B = (1, 4, 2),\\ C = (1, 3, 2)\n\t\\]',
'$P=\\frac{5}{2},\\ \\ h_B=1$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta $ABC$ oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B dla
\[
A = (-3, 3, -1),\ B = (1, 4, 2),\ C = (1, 3, 2)
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$P=\frac{5}{2},\ \ h_B=1$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.pole_trojkata(calkowite=choice([False, True]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(
f'Wyznaczyć pole trójkąta *ABC* oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka *{zadanie[0].split("ka ")[1].split(" dla")[0]}*' + ' dla'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1].replace('\\ \\', '\qquad') + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A dla
\[ A = (3, 1, -1),\ B = (5, 1, -1),\ C = (5, 1, -3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=2,\qquad h_A=2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (3, 4, -2),\ B = (5, 4, -2),\ C = (3, -1, -2)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=5,\qquad h_C=5\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B dla
\[ A = (-2, -1, 1),\ B = (3, 3, 2),\ C = (-1, 2, 1)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{\sqrt{131}}{2},\qquad h_B=\frac{\sqrt{1310}}{10}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (-3, 1, 5),\ B = (3, -1, 4),\ C = (4, -1, 3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{\sqrt{33}}{2},\qquad h_C=\frac{\sqrt{1353}}{41}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A dla
\[ A = (2, 5, -1),\ B = (1, 2, -2),\ C = (3, -3, -2)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{5 \sqrt{6}}{2},\qquad h_A=\frac{5 \sqrt{174}}{29}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A dla
\[ A = (4, -1, 1),\ B = (5, -1, 5),\ C = (3, -1, 5)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=4,\qquad h_A=4\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka C dla
\[ A = (4, 5, 1),\ B = (2, 3, -1),\ C = (5, 5, -3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\sqrt{42},\qquad h_C=\sqrt{14}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B dla
\[ A = (4, 5, -1),\ B = (4, 3, -2),\ C = (1, -1, -3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=\frac{7}{2},\qquad h_B=1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A dla
\[ A = (1, 2, 3),\ B = (3, 1, 3),\ C = (3, -3, 3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=4,\qquad h_A=2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć pole trójkąta ABC oraz długość wysokości opuszczonej z wierzchołka A dla
\[ A = (5, 3, 2),\ B = (3, 3, 4),\ C = (3, 3, -3)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[P=7,\qquad h_A=2\]
***********************************************************************************************
Płaszczyzna styczna
zadanie = gz.plaszczyzna_styczna()
zadanie
('Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni $$f(x,y)=\\left(x + 5 y\\right) e^{- 4 x^{2} + 2 x - y^{2}}$$ w punkcie $P=(0,0,f(0,0)).$',
'$z = x + 5 y$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni $$f(x,y)=\left(x + 5 y\right) e^{- 4 x^{2} + 2 x - y^{2}}$$ w punkcie $P=(0,0,f(0,0)).$
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$z = x + 5 y$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.plaszczyzna_styczna()
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(
f'Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni'))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('$$')[1]) + '$$'))
display(Markdown('w punkcie'))
display(Latex('$' + zadanie[0].split('punkcie ')[1] + '$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1].replace('\\ \\', '\qquad') + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\left(x - 4\right)^{2} \left(y - 3\right)^{2} + \left(5 x - 25\right) \left(y - 2\right)\]
w punkcie
\[P=(2,5,f(2,5)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - x + y - 32\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=- x \left(y - 1\right) - 3 \left(x - 3\right)^{2} \left(y - 5\right)^{2}\]
w punkcie
\[P=(5,5,f(5,5)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - 4 x - 5 y + 25\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=- 2 x + \frac{3 x}{y} + y - \frac{3}{y} - \frac{2 y}{x} + \frac{2}{x}\]
w punkcie
\[P=(2,4,f(2,4)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = \frac{x}{4} - \frac{3 y}{16} - 2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\sqrt{2 x^{2} - 2 y^{2} + 9}\]
w punkcie
\[P=(3,-3,f(3,-3)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = 2 x + 2 y + 3\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=- \frac{4 x}{y} - \frac{1}{y} - \frac{2 y}{x} + \frac{3}{x}\]
w punkcie
\[P=(5,2,f(5,2)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - \frac{49 x}{25} + \frac{97 y}{20} - \frac{53}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=x + \frac{2 x}{y} + y + \frac{3}{y} + \frac{4}{x}\]
w punkcie
\[P=(-3,3,f(-3,3)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = \frac{11 x}{9} + \frac{4 y}{3} - \frac{8}{3}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\frac{\sqrt{4 x^{2} + 4 y^{2} + 4}}{5 x - 2 y}\]
w punkcie
\[P=(-2,-2,f(-2,-2)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - \frac{11 x}{18} + \frac{5 y}{9} - \frac{10}{9}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=- 2 x e^{- 2 x + 4 y^{2} + 3 y + 2}\]
w punkcie
\[P=(1,0,f(1,0)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = 2 x - 6 y - 4\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=\frac{\sqrt{4 x^{2} - y^{2} + 4}}{5 x + 3 y}\]
w punkcie
\[P=(-2,-4,f(-2,-4)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = \frac{39 x}{242} - \frac{25 y}{242} - \frac{2}{11}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Wyznaczyć płaszczyznę styczną do powierzchni
\[f(x,y)=- 4 x^{3} y - 2 x^{2} y - x^{2} + 4 x y^{3} + 5 y^{2}\]
w punkcie
\[P=(1,0,f(1,0)).\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z = - 2 x - 6 y + 1\]
***********************************************************************************************