Granice
Wskazówka
<- interaktywna sesja notebooka
from random import choice
from IPython.display import display, Markdown, Latex
import generator_zadan.generatory as gz
print(gz.__version__)
0.2.10
ile_zadan_przykladowych = 10
Granice ciągów
zadanie = gz.granica_ciagu(typ=choice([0, 1, 2, 3, 4]))
zadanie
('Obliczyć granicę\n\t\\[\n\t\t\\lim\\limits_{n \\rightarrow \\infty} \\left(\\frac{n + 1}{n + 5}\\right)^{2 n - 3} \n\t\\]\n',
'$e^{-8}$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[
\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\frac{n + 1}{n + 5}\right)^{2 n - 3}
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$e^{-8}$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.granica_ciagu(typ=choice([0, 1, 2, 3, 4]))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n - 3}{\sqrt{2 n^{2} + 4 n + 4}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\sqrt{2}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\sqrt{n^{2} - 3 n} - \sqrt{n^{2} - n - 1} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2 n + 5}{\sqrt{5 n^{2} + n - 3}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{2 \sqrt{5}}{5}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{- 3 \cdot 4^{n} + 5^{n}}{2^{n} + 4 \cdot 5^{n}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{1}{4}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{5 n^{5} + 2 n^{2} - 3 n}{- n^{5} - n^{3} - n^{2} - 2 n + 5} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-5\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(\sqrt{2 n^{2} + 3} - \sqrt{2 n^{2} + 5 n - 2} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{5 \sqrt{2}}{4}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{3 n^{5} + 2 n^{3} + 2 n - 1}{3 n^{5} - 2 n^{3} - 2 n^{2} + 5 n - 2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5} + 4 n^{3} + 5 n^{2} + 2 n + 3}{4 n^{5} + 5 n^{3} + 5 n^{2} + n + 1} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{1}{4}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{- 2 \cdot 3^{n} - 5^{n}}{5 \cdot 2^{n} - 5^{n}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{- 2 n^{5} + 2 n^{3} + 3}{5 n^{5} - n^{3} - n^{2} + n + 1} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{2}{5}\]
***********************************************************************************************
Granice funkcji
zadanie = gz.granica_funkcji(typ=choice([i for i in range(11)]))
zadanie
('Obliczyć granicę\n\t\\[\n\t\t\\lim\\limits_{x \\rightarrow 1} x^{\\frac{1}{1 - x}} \n\t\\]\n',
'$e^{-1}$')
Show code cell source
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[
\lim\limits_{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1 - x}}
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$e^{-1}$
***********************************************************************************************
Show code cell source
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
zadanie = gz.granica_funkcji(typ=choice(range(12)))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 1^-}\left( \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} - \frac{1}{x} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \sqrt{2 x + 1}}{2 x} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{1}{2}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} - e^{- x}}{\sin{\left(x \right)}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[2\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 1^-}\left( \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{x^{2}} \right)\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{1}{3}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1 - x}} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[e^{-1}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x \ln{\left(x \right)}}{x - 1} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[1\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{{x \rightarrow 0}}\left( - \frac{1}{x \sin{\left(x \right)}} + \frac{1}{x^{2}} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{1}{6}\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************
Obliczyć granicę
\[ \lim\limits_{x \rightarrow 1^-}\left( \left(1 - x\right) \ln{\left(1 - x \right)} \right) \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[0\]
***********************************************************************************************
Asymptoty
zadanie = gz.asymptoty(typ=choice(range(1, 11)))
zadanie
('Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji\n\t\\[\n\t\tf(x)= \\frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 x + 3}.\n\t\\]\n',
'$D_f\\colon \\mathbb{R}\\setminus \\left\\{- \\frac{3}{2}\\right\\}.$\\\\Asymptota pionowa dwustronna w $x_0=- \\frac{3}{2}.$ \\\\Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=\\frac{3 x}{2} - \\frac{13}{4}.$ ')
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[
f(x)= \frac{3 x^{2} - 2 x - 1}{2 x + 3}.
\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{- \frac{3}{2}\right\}.$\\Asymptota pionowa dwustronna w $x_0=- \frac{3}{2}.$ \\Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu $y=\frac{3 x}{2} - \frac{13}{4}.$
***********************************************************************************************
for i in range(1,10):
zadanie = gz.asymptoty(typ=choice(range(1,11)))
print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
display(Latex(zadanie[1].split('\\\\')[0]))
for i in range(1,len(zadanie[1].split('\\\\'))):
display(Markdown((zadanie[1].split('\\\\')[i].split('$')[0])))
display(Latex('$' + zadanie[1].split('\\\\')[i].split('$')[1] + '$'))
print("\033[32m*\033[0m" * 95)
** Zadanie 1 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= - \frac{2 x^{2} + x}{2 x}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=- x - \frac{1}{2}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= 2 x - 1 + \frac{\ln{\left(x \right)}}{x}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \left(0, \infty\right).\]
Asymptota pionowa prawostronna w
\[x_0=0.\]
Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu
\[y=2 x - 1.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 3 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{- x^{2} - x + 2}{3 x + 1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{- \frac{1}{3}\right\}.\]
Asymptota pionowa dwustronna w
\[x_0=- \frac{1}{3}.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=- \frac{x}{3} - \frac{2}{9}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 4 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{2 x - e^{x}}{x}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}.\]
Asymptota pionowa dwustronna w
\[x_0=0.\]
Asymptota pozioma w minus nieskończoności o równaniu
\[y=2.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{3 x^{2} - x - 2}{3 x + 2}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}\setminus \left\{- \frac{2}{3}\right\}.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=x - 1.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \left(2 x + 1\right) e^{- \frac{1}{x}}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R} \setminus \left\{0\right\}.\]
Asymptota pionowa lewostronna w
\[x_0=0.\]
Asymptota ukośna w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=2 x - 1.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= \frac{- 2 x^{2} + x + 1}{- x^{2} - x - 1}.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}.\]
Asymptota pozioma w plus i minus nieskończoności o równaniu
\[y=2.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= 2 x + 2 \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - 1.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}.\]
Asymptota ukośna w minus nieskończoności o równaniu
\[y=2 x - \pi - 1.\]
Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu
\[y=2 x - 1 + \pi.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie asymptoty funkcji
\[ f(x)= - x + \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1.\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[D_f\colon \mathbb{R}.\]
Asymptota ukośna w minus nieskończoności o równaniu
\[y=- x - \frac{\pi}{2} - 1.\]
Asymptota ukośna w plus nieskończoności o równaniu
\[y=- x - 1 + \frac{\pi}{2}.\]
***********************************************************************************************