Liczby zespolone

Wskazówka

Binder <- interaktywna sesja notebooka

from random import choice

from IPython.display import display, Markdown, Latex

import generator_zadan.generatory as gz

print(gz.__version__)

0.2.10

ile_zadan_przykladowych = 10

Zespolone równanie liniowe

zadanie = gz.rownanie_liniowe()
zadanie

('Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\\ Sprawdzić rozwiązanie.\n\t\\[\n\t\t\\left(8 - 4i\\right)z = -3 + 8i+\\left(8 - 3i\\right)z\n\t\\]',
 '$z=-8 - 3i.$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\ Sprawdzić rozwiązanie.
	\[
		\left(8 - 4i\right)z = -3 + 8i+\left(8 - 3i\right)z
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$z=-8 - 3i.$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.rownanie_liniowe()
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\n')[2] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 5 - i+\left(3 - 4i\right)z = \left(4 - 3i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=2 - 3i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(2 - 3i\right)z = 8 - 4i+\left(4 - 5i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-3 - i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(4 - 3i\right)z = -2 - 6i+\left(3 - i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=2 - 2i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ -3 - 3i+\left(5 + 7i\right)z = \left(5 + 4i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=1 - i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(6 + 3i\right)z = -2 + 9i+\left(6 + 2i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=9 + 2i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 6 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(9 + 4i\right)z = 7 + 5i+\left(9 + 3i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=5 - 7i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 7 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(3 + 5i\right)z = 4 - 4i+\left(3 + 9i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=1 + i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(5 + 8i\right)z = -2 + 2i+\left(5 + 7i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=2 + 2i.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ \left(6 + 6i\right)z = -6 + 6i+\left(6 + 8i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-3 - 3i.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 10 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić rozwiązanie.

\[ 8 - 4i+\left(3 + 2i\right)z = \left(2 + 5i\right)z\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[z=-2 - 2i.\]
***********************************************************************************************

Zespolone równanie kwadratowe

zadanie = gz.rownanie_kwadratowe()
zadanie

('Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\\ Sprawdzić jedno z rozwiązań.\n\t\\[\n\t\t\\left(2 - i\\right)z^2 + \\left(9 + 3 i\\right) z + \\left(4 + 8 i\\right)=0\n\t\\]',
 '$\\Delta = 8+6i, \\quad \\sqrt{\\Delta}=\\pm( 3 + i), \\quad z_{1}=-2 - 2 i, \\quad z_{2}=-1 - i$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych.\ Sprawdzić jedno z rozwiązań.
	\[
		\left(2 - i\right)z^2 + \left(9 + 3 i\right) z + \left(4 + 8 i\right)=0
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\Delta = 8+6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 + i), \quad z_{1}=-2 - 2 i, \quad z_{2}=-1 - i$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.rownanie_kwadratowe()
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\n')[2] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$' + zadanie[1] + '$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(-1 - 9 i\right) z + \left(-14 - 8 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8-6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 - i), \quad z_{1}=-3 + 2 i, \quad z_{2}=-1 + 3 i\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 2 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(2 - i\right)z^2 + \left(8 + i\right) z + \left(5 + 5 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 3-4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 2 - i), \quad z_{1}=-2 - i, \quad z_{2}=-1 - i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(2 - i\right)z^2 + \left(9 + 3 i\right) z + \left(4 + 8 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8+6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 + i), \quad z_{1}=-2 - 2 i, \quad z_{2}=-1 - i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(2 - i\right)z^2 + \left(11 + 7 i\right) z + \left(-1 + 18 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 8+6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 3 + i), \quad z_{1}=-2 - 3 i, \quad z_{2}=-1 - 2 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 + 2 i\right)z^2 + \left(-3 + 14 i\right) z + \left(-18 + 14 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -3+4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 1 + 2 i), \quad z_{1}=-3 - 2 i, \quad z_{2}=-2 - 2 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(-13 + 3 i\right) z + \left(30 + 12 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -8-6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 1 - 3 i), \quad z_{1}=3 + 3 i, \quad z_{2}=5 + 2 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - 2 i\right)z^2 + \left(6 + 13 i\right) z + \left(-22 - 6 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = 3+4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 2 + i), \quad z_{1}=2 - 3 i, \quad z_{2}=2 - 2 i\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 8 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(2 - i\right)z^2 + \left(9 + 8 i\right) z + \left(-5 + 15 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -3+4i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 1 + 2 i), \quad z_{1}=-1 - 3 i, \quad z_{2}=-1 - 2 i\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 9 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(1 - i\right)z^2 + \left(3 - 13 i\right) z + \left(-10 - 28 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -8-6i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 1 - 3 i), \quad z_{1}=-5 + 3 i, \quad z_{2}=-3 + 2 i\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych. Sprawdzić jedno z rozwiązań.

\[ \left(3 - 2 i\right)z^2 + \left(12 + 5 i\right) z + \left(3 + 11 i\right)=0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\Delta = -5+12i, \quad \sqrt{\Delta}=\pm( 2 + 3 i), \quad z_{1}=-1 - 2 i, \quad z_{2}=-1 - i\]
***********************************************************************************************

Pierwiastek zespolony

zadanie = gz.pierwiastek_zespolony(stopien=3, nr_zadania=0)
zadanie

('Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej\n\t\\[\n\t\t\\sqrt[\\leftroot{2}\\uproot{-4} \\displaystyle ^{3}]{\\left(\\frac{9}{128} + \\frac{9 \\sqrt{5} i}{128} \\right) \\left(-1 + \\sqrt{5} i \\right)}\n\t\\]',
 '\t\\begin{tabular}{p{0.5\\textwidth}p{0.3\\textwidth}}\n\t\\[\n\t\t\\sqrt[\\leftroot{2}\\uproot{-4} \\displaystyle ^{3}]{- \\frac{27}{64}}=\n\t\\]\n\t\\[\n\t\t = \\left\\{ - \\frac{3}{4}, \\  \\frac{3}{8} - \\frac{3 \\sqrt{3} i}{8}, \\  \\frac{3}{8} + \\frac{3 \\sqrt{3} i}{8}\\right\\}.\n\t\\]\n\t&\n\t\t\\raisebox{-3cm}{\\resizebox{5.1cm}{!}{\\includegraphics{../pics/rozklad_pierwiastkow0}}}\n\t\\end{tabular}\n')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej
	\[
		\sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(\frac{9}{128} + \frac{9 \sqrt{5} i}{128} \right) \left(-1 + \sqrt{5} i \right)}
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
	\begin{tabular}{p{0.5\textwidth}p{0.3\textwidth}}
	\[
		\sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- \frac{27}{64}}=
	\]
	\[
		 = \left\{ - \frac{3}{4}, \  \frac{3}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}, \  \frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8}\right\}.
	\]
	&
		\raisebox{-3cm}{\resizebox{5.1cm}{!}{\includegraphics{../pics/rozklad_pierwiastkow0}}}
	\end{tabular}

***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.pierwiastek_zespolony(stopien=choice([3,4]), nr_zadania=i)
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    temp = zadanie[1].split('\n\t')[2] + zadanie[1].split('\n\t')[5][4:]
    display(Latex(f'$${temp}$$'))
    display(Markdown(f'![](./pics//rozklad_pierwiastkow{i}.png)'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(-1 + \sqrt{2} i \right) \left(- \frac{64 \sqrt{2}}{3} + \frac{64 i}{3} \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- 64 i}=\left\{ 4 i, \ - 2 \sqrt{3} - 2 i, \ 2 \sqrt{3} - 2 i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(2 - 2 \sqrt{2} i \right) \left(- \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-4}=\left\{ -1 - i, \ -1 + i, \ 1 - i, \ 1 + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(\frac{4}{3} + \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right) \left(-2 + \sqrt{2} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-4}=\left\{ -1 - i, \ -1 + i, \ 1 - i, \ 1 + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(-2 + 2 \sqrt{3} i \right) \left(-2 + 2 \sqrt{3} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-8 - 8 \sqrt{3} i}=\left\{ -1 - \sqrt{3} i, \ 1 + \sqrt{3} i, \ - \sqrt{3} + i, \ \sqrt{3} - i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(-1 + \sqrt{3} i \right) \left(16 \sqrt{3} - 16 i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{64 i}=\left\{ - 4 i, \ - 2 \sqrt{3} + 2 i, \ 2 \sqrt{3} + 2 i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(-2 + 2 \sqrt{5} i \right) \left(\frac{2}{3} + \frac{2 \sqrt{15}}{3} + i \left(- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{5}}{3}\right) \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-8 + 8 \sqrt{3} i}=\left\{ -1 + \sqrt{3} i, \ 1 - \sqrt{3} i, \ - \sqrt{3} - i, \ \sqrt{3} + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{\left(1 - \sqrt{5} i \right) \left(- \frac{9}{128} - \frac{9 \sqrt{5} i}{128} \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{3}]{- \frac{27}{64}}=\left\{ - \frac{3}{4}, \ \frac{3}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}, \ \frac{3}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8}\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(- \frac{8}{7} - \frac{24 \sqrt{3} i}{7} \right) \left(-2 - \sqrt{3} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-8 + 8 \sqrt{3} i}=\left\{ -1 + \sqrt{3} i, \ 1 - \sqrt{3} i, \ - \sqrt{3} - i, \ \sqrt{3} + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(\frac{8}{7} + \frac{4 \sqrt{3} i}{7} \right) \left(-2 + \sqrt{3} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-4}=\left\{ -1 - i, \ -1 + i, \ 1 - i, \ 1 + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Wyznaczyć wszystkie zadane pierwiastki zespolone i zaznaczyć je na płaszczyźnie zespolonej

\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{\left(- \frac{2}{3} - \frac{2 \sqrt{2} i}{3} \right) \left(2 - 2 \sqrt{2} i \right)} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[ \sqrt[\leftroot{2}\uproot{-4} \displaystyle ^{4}]{-4}=\left\{ -1 - i, \ -1 + i, \ 1 - i, \ 1 + i\right\}.\]

***********************************************************************************************

Równanie zespolone ze sprzężeniem

zadanie = gz.rownanie_ze_sprzezeniem(calkowite=choice([False, True]), kwadratowe=choice([False, True]))
zadanie

('Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych\n\t\\[\n\t\tz \\left(-6 - 2 i\\right) + \\left(3 + 5 i\\right) \\overline{z} + 1 - 3 i = 0\n\t\\]',
 '$\\left(3 + 5 i\\right) \\left(x - i y\\right) + \\left(-6 - 2 i\\right) \\left(x + i y\\right) + 1 - 3 i = 0,$ \\\\ \n$\\left(-1 + i\\right) \\left(3 x + y \\left(-8 + i\\right) - 2 + i\\right) = 0,$\\\\\n$\\left\\{\n\t\\begin{array}{c}\n\t\t- 3 x + 7 y + 1 = 0\\\\\n\t\t3 x - 9 y - 3 = 0\n\t\\end{array}\n\\right.$ \\\\\n$z = \\left\\{ x : -2, \\  y : -1\\right\\}.$')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych
	\[
		z \left(-6 - 2 i\right) + \left(3 + 5 i\right) \overline{z} + 1 - 3 i = 0
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$\left(3 + 5 i\right) \left(x - i y\right) + \left(-6 - 2 i\right) \left(x + i y\right) + 1 - 3 i = 0,$ \\ 
$\left(-1 + i\right) \left(3 x + y \left(-8 + i\right) - 2 + i\right) = 0,$\\
$\left\{
	\begin{array}{c}
		- 3 x + 7 y + 1 = 0\\
		3 x - 9 y - 3 = 0
	\end{array}
\right.$ \\
$z = \left\{ x : -2, \  y : -1\right\}.$
***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.rownanie_ze_sprzezeniem(calkowite=choice([False, True]), kwadratowe=choice([False, True]))
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\n')[2] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    rozwiazanie = zadanie[1].replace('$ \\\\ \n$', ' $ ').replace('$\\\\\n$', ' $ ').replace('$ \\\\\n$', ' $ ').split(
        '$')
    for i in range(1, len(rozwiazanie) - 1):
        display(Latex('$$' + rozwiazanie[i] + '$$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} - 2 \overline{z} - 3 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- 2 x + 2 i y + \left(x + i y\right)^{2} - 3 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y - 2 x - y^{2} + 2 i y - 3 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} - 2 x - y^{2} - 3 = 0\\ 2 x y + 2 y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -1, \ y : 0\right\}, \ \left\{ x : 3, \ y : 0\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} - 4 \overline{z} + 4 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- 4 x + 4 i y + \left(x + i y\right)^{2} + 4 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y - 4 x - y^{2} + 4 i y + 4 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} - 4 x - y^{2} + 4 = 0\\ 2 x y + 4 y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -2, \ y : -4\right\}, \ \left\{ x : -2, \ y : 4\right\}, \ \left\{ x : 2, \ y : 0\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} - \overline{z} - 6 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- x + i y + \left(x + i y\right)^{2} - 6 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y - x - y^{2} + i y - 6 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} - x - y^{2} - 6 = 0\\ 2 x y + y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -2, \ y : 0\right\}, \ \left\{ x : 3, \ y : 0\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(-2 + 2 i\right) + \left(1 + 3 i\right) \overline{z} + 4 - 4 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(1 + 3 i\right) \left(x - i y\right) + \left(-2 + 2 i\right) \left(x + i y\right) + 4 - 4 i = 0, \]
\[ \left(-1 + i\right) \left(x \left(3 - 2 i\right) + y \left(-2 + i\right) - 4\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} - x + y + 4 = 0\\ 5 x - 3 y - 4 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : -4, \ y : -8\right\}.\]
***********************************************************************************************
** Zadanie 5 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} - \overline{z} - 6 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- x + i y + \left(x + i y\right)^{2} - 6 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y - x - y^{2} + i y - 6 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} - x - y^{2} - 6 = 0\\ 2 x y + y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -2, \ y : 0\right\}, \ \left\{ x : 3, \ y : 0\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(-2 + 3 i\right) + \left(-4 + i\right) \overline{z} + 5 + 3 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(-4 + i\right) \left(x - i y\right) + \left(-2 + 3 i\right) \left(x + i y\right) + 5 + 3 i = 0, \]
\[ \left(-1 - i\right) \left(x \left(1 - 5 i\right) - 2 i y - 4 + i\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} - 6 x - 2 y + 5 = 0\\ 4 x + 2 y + 3 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : 4, \ y : - \frac{19}{2}\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(3 + 2 i\right) + \left(3 - 3 i\right) \overline{z} - 5 - 5 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(3 - 3 i\right) \left(x - i y\right) + \left(3 + 2 i\right) \left(x + i y\right) - 5 - 5 i = 0, \]
\[ x \left(6 - i\right) - 5 y - 5 - 5 i = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} 6 x - 5 y - 5 = 0\\ - x - 5 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : -5, \ y : -7\right\}.\]
***********************************************************************************************

<class 'Exception'>
** Zadanie 8 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(3 + i\right) + \left(1 - 3 i\right) \overline{z} - 6 + 3 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(1 - 3 i\right) \left(x - i y\right) + \left(3 + i\right) \left(x + i y\right) - 6 + 3 i = 0, \]
\[ \left(2 - i\right) \left(2 x - 2 y - 3\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} 4 x - 4 y - 6 = 0\\ - 2 x + 2 y + 3 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : y + \frac{3}{2}\right\}.\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z^{2} + \overline{z} - 6 = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[x - i y + \left(x + i y\right)^{2} - 6 = 0, \]
\[ x^{2} + 2 i x y + x - y^{2} - i y - 6 = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x^{2} + x - y^{2} - 6 = 0\\ 2 x y - y = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left[ \left\{ x : -3, \ y : 0\right\}, \ \left\{ x : 2, \ y : 0\right\}\right].\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Rozwiązać równanie w zbiorze liczb zespolonych

\[ z \left(-2 + 3 i\right) + \left(3 - 4 i\right) \overline{z} + 3 - 3 i = 0\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\left(3 - 4 i\right) \left(x - i y\right) + \left(-2 + 3 i\right) \left(x + i y\right) + 3 - 3 i = 0, \]
\[ \left(1 - i\right) \left(x + y \left(-1 - 6 i\right) + 3\right) = 0, \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{c} x - 7 y + 3 = 0\\ - x - 5 y - 3 = 0 \end{array} \right. \end{split}\]
\[ z = \left\{ x : -3, \ y : 0\right\}.\]
***********************************************************************************************

Obszar zespolony

zadanie = gz.obszar_zespolony(typ=choice([1, 2, 3, 4, 5]), nr_zadania=1)
zadanie

('Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki\n\t\\[\n\t\t\\left|z+2 - 2 i\\right| \\leq 3\n \t\t\\quad \\textnormal{oraz} \\quad\n\t\t\\left|z+1 - i\\right| < 2\n\t\\]',
 '\t\\begin{tabular}{p{0.4\\textwidth}p{0.3\\textwidth}}\n\t\\begin{gather*}\n\t\t\\left(x + 2\\right)^{2} + \\left(y - 2\\right)^{2} \\leq 9\\\\\n\t\t\\left(x + 1\\right)^{2} + \\left(y - 1\\right)^{2} < 4\n\t\\end{gather*}\t\t\n\t&\n\t\t\\raisebox{-3.1cm}{\\resizebox{4cm}{!}{\\includegraphics{../pics/obszar1}}}\n\t\\end{tabular}\n')
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki
	\[
		\left|z+2 - 2 i\right| \leq 3
 		\quad \textnormal{oraz} \quad
		\left|z+1 - i\right| < 2
	\]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
	\begin{tabular}{p{0.4\textwidth}p{0.3\textwidth}}
	\begin{gather*}
		\left(x + 2\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2} \leq 9\\
		\left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 1\right)^{2} < 4
	\end{gather*}		
	&
		\raisebox{-3.1cm}{\resizebox{4cm}{!}{\includegraphics{../pics/obszar1}}}
	\end{tabular}

***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.obszar_zespolony(typ=choice([1, 2, 3, 4, 5]), nr_zadania=i)
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0].replace('\\', '')))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$$\\begin{gather*}' + zadanie[1].split('{gather*}')[1] + '{gather*}$$'))
    display(Markdown(f'![](./pics//obszar{i}.png)'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki

\[ \left|z+2 + 3 i\right| > 3 \quad \textnormal{oraz} \quad \left|z-1 - 3 i\right| > \sqrt{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} \left(x + 2\right)^{2} + \left(y + 3\right)^{2} > 9\\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(y - 3\right)^{2} > 2 \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki

\[ \sqrt{2}\leq \left|z \right| \leq \frac{5}{2} \quad \textnormal{oraz} \quad - \frac{2 \pi}{3} \leq \arg(z) < \frac{\pi}{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} 2\leq x^{2} + y^{2}\leq\frac{25}{4}\\ - \frac{2 \pi}{3} \leq \varphi < \frac{\pi}{2} \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z-1 + 3 i\right| \leq 3 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x - 1\right)^{2} + \left(y + 3\right)^{2}\leq9 \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z+3 + i\right| = 2 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x + 3\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = 4 \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki

\[ \left|z+1 - i\right| \geq 2 \quad \textnormal{oraz} \quad \left|z-2 - i\right| \geq 3 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} \left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 1\right)^{2} \geq 4\\ \left(x - 2\right)^{2} + \left(y - 1\right)^{2} \geq 9 \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \frac{1}{2}\leq \left|z+2 - 2 i\right| < 3 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} \left(x + 2\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2}\geq\frac{1}{4}\\ \left(x + 2\right)^{2} + \left(y - 2\right)^{2}<9 \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ 2< \left|z-1 + 2 i\right| < \frac{5}{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} \left(x - 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2}>4\\ \left(x - 1\right)^{2} + \left(y + 2\right)^{2}<\frac{25}{4} \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z-1 + i\right| = 1 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x - 1\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} = 1 \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunki

\[ \left|z+1 + i\right| \geq 1 \quad \textnormal{oraz} \quad \left|z+3 + 3 i\right| \geq 1 \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}\begin{gather*} \left(x + 1\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} \geq 1\\ \left(x + 3\right)^{2} + \left(y + 3\right)^{2} \geq 1 \end{gather*}\end{split}\]

***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej obszar spełniający warunek

\[ \left|z+1 - 3 i\right| = \sqrt{2} \]
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{gather*} \left(x + 1\right)^{2} + \left(y - 3\right)^{2} = 2 \end{gather*}\]

***********************************************************************************************

Postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza - działania

zadanie = gz.dzialania_zespolone()
zadanie

('Obliczyć\n\t\\[\n\t\t\\frac{\\left(4 - 4 \\sqrt{3} i\\right)\\left(4 - 4 \\sqrt{3} i\\right)}{4 - 4 \\sqrt{3} i} + \\frac{4\\left(\\cos\\left(- \\frac{\\pi}{6}\\right) + i \\, \\sin\\left(- \\frac{\\pi}{6}\\right)\\right)\\cdot 3\\left(\\cos\\left(\\frac{2 \\pi}{3}\\right) + i \\, \\sin\\left(\\frac{2 \\pi}{3}\\right)\\right)}{3\\left(\\cos\\left(- \\frac{\\pi}{3}\\right) + i \\, \\sin\\left(- \\frac{\\pi}{3}\\right)\\right)} - \\frac{2\\,e^{- \\frac{\\pi}{3}\\, i}\\cdot 4\\,e^{\\pi\\, i}}{2\\,e^{- \\frac{\\pi}{6}\\, i}}. \n\t\\]\n\tWynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.',
 '$4 - 4 \\sqrt{3} i, \\qquad 8 \\left(\\cos\\left(- \\frac{\\pi}{3}\\right) + i\\,\\sin\\left(- \\frac{\\pi}{3}\\right)\\right), \\qquad 8 e^{- \\frac{\\pi}{3}\\,i}$ ')

print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Obliczyć
	\[
		\frac{\left(4 - 4 \sqrt{3} i\right)\left(4 - 4 \sqrt{3} i\right)}{4 - 4 \sqrt{3} i} + \frac{4\left(\cos\left(- \frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot 3\left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)}{3\left(\cos\left(- \frac{\pi}{3}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{3}\right)\right)} - \frac{2\,e^{- \frac{\pi}{3}\, i}\cdot 4\,e^{\pi\, i}}{2\,e^{- \frac{\pi}{6}\, i}}. 
	\]
	Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$4 - 4 \sqrt{3} i, \qquad 8 \left(\cos\left(- \frac{\pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{\pi}{3}\right)\right), \qquad 8 e^{- \frac{\pi}{3}\,i}$ 
***********************************************************************************************

for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.dzialania_zespolone()
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[0]))
    display(Latex('$$' + (zadanie[0].split('\n\t')[2]) + '$$'))
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n\t')[4]))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$$' + zadanie[1].split('$')[1] + '$$'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(2 + \frac{2 \sqrt{3} i}{3}\right)\left(1 - \sqrt{3} i\right)}{1 + \frac{\sqrt{3} i}{3}} + \frac{5\left(\cos\left(- \frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)}{4\left(\cos\left(- \frac{\pi}{4}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{4}\right)\right)} - \frac{3\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}\cdot 4\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}}{3\,e^{\frac{\pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\frac{5}{2}, \qquad \frac{5}{2} \left(\cos\left(0\right) + i\,\sin\left(0\right)\right), \qquad \frac{5}{2} e^{0\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 2 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(2 - 2 i\right)\left(2 + 2 \sqrt{3} i\right)}{-2 - 2 i} + \frac{5\left(\cos\left(\frac{3 \pi}{4}\right) + i \, \sin\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)\cdot 3\left(\cos\left(\pi\right) + i \, \sin\left(\pi\right)\right)}{3\left(\cos\left(- \frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right)\right)} - \frac{5\,e^{- \frac{3 \pi}{4}\, i}\cdot 4\,e^{- \frac{5 \pi}{6}\, i}}{4\,e^{\frac{\pi}{6}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- 2 \sqrt{3} + 2 i, \qquad 4 \left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i\,\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right), \qquad 4 e^{\frac{5 \pi}{6}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 3 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(-2 + 2 \sqrt{3} i\right)\left(-1 - \sqrt{3} i\right)}{-2 + 2 \sqrt{3} i} + \frac{2\left(\cos\left(\pi\right) + i \, \sin\left(\pi\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)}{2\left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right)} - \frac{2\,e^{- \frac{\pi}{2}\, i}\cdot 4\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}}{4\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-1 - \sqrt{3} i, \qquad 2 \left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad 2 e^{- \frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 4 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(4 - 4 \sqrt{3} i\right)\left(3 - 3 \sqrt{2} i\right)}{-2 + 2 \sqrt{2} i} + \frac{3\left(\cos\left(- \frac{\pi}{3}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{3}\right)\right)\cdot 5\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)}{3\left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right)} - \frac{5\,e^{0\, i}\cdot 3\,e^{\pi\, i}}{3\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-11 + 11 \sqrt{3} i, \qquad 22 \left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad 22 e^{\frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 5 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(1 - \sqrt{3} i\right)\left(4 - 4 \sqrt{3} i\right)}{4 - 4 \sqrt{3} i} + \frac{5\left(\cos\left(- \frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot 3\left(\cos\left(- \frac{\pi}{4}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{4}\right)\right)}{3\left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)} - \frac{5\,e^{0\, i}\cdot 4\,e^{\frac{5 \pi}{6}\, i}}{4\,e^{\frac{\pi}{4}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[1 - \sqrt{3} i, \qquad 2 \left(\cos\left(- \frac{\pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{\pi}{3}\right)\right), \qquad 2 e^{- \frac{\pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 6 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right)\left(1 - \sqrt{3} i\right)}{2 - 2 \sqrt{3} i} + \frac{3\left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(- \frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{5 \pi}{6}\right)\right)}{4\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)} - \frac{3\,e^{0\, i}\cdot 2\,e^{\frac{\pi}{3}\, i}}{4\,e^{\frac{5 \pi}{6}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}, \qquad 1 \left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad 1 e^{\frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 7 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(2 + 2 \sqrt{3} i\right)\left(1 + \sqrt{3} i\right)}{-2 - \frac{2 \sqrt{3} i}{3}} + \frac{3\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(\frac{3 \pi}{4}\right) + i \, \sin\left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)}{3\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)} - \frac{2\,e^{- \frac{3 \pi}{4}\, i}\cdot 3\,e^{\frac{\pi}{4}\, i}}{4\,e^{- \frac{5 \pi}{6}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[- \frac{7}{4} - \frac{7 \sqrt{3} i}{4}, \qquad \frac{7}{2} \left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad \frac{7}{2} e^{- \frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 8 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(1 + \sqrt{3} i\right)\left(3 - 3 \sqrt{2} i\right)}{1 - \sqrt{2} i} + \frac{5\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)\cdot 4\left(\cos\left(- \frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{6}\right)\right)}{2\left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)} - \frac{3\,e^{\frac{\pi}{4}\, i}\cdot 4\,e^{\frac{3 \pi}{4}\, i}}{3\,e^{\frac{2 \pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-4 - 4 \sqrt{3} i, \qquad 8 \left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad 8 e^{- \frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(4 + 4 \sqrt{3} i\right)\left(3 + 3 \sqrt{2} i\right)}{-1 - \sqrt{2} i} + \frac{5\left(\cos\left(- \frac{\pi}{2}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{2}\right)\right)\cdot 2\left(\cos\left(\frac{5 \pi}{6}\right) + i \, \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)}{4\left(\cos\left(\pi\right) + i \, \sin\left(\pi\right)\right)} - \frac{5\,e^{- \frac{\pi}{3}\, i}\cdot 5\,e^{\pi\, i}}{2\,e^{- \frac{2 \pi}{3}\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-7 - 7 \sqrt{3} i, \qquad 14 \left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i\,\sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right), \qquad 14 e^{- \frac{2 \pi}{3}\,i}\]
***********************************************************************************************

** Zadanie 10 **********************************************************************************

Obliczyć

\[ \frac{\left(3 + \sqrt{3} i\right)\left(-1 - i\right)}{1 + \frac{\sqrt{3} i}{3}} + \frac{5\left(\cos\left(- \frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(- \frac{2 \pi}{3}\right)\right)\cdot 3\left(\cos\left(- \frac{\pi}{6}\right) + i \, \sin\left(- \frac{\pi}{6}\right)\right)}{5\left(\cos\left(\frac{2 \pi}{3}\right) + i \, \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right)} - \frac{3\,e^{- \frac{\pi}{6}\, i}\cdot 4\,e^{- \frac{5 \pi}{6}\, i}}{4\,e^{\pi\, i}}. \]

Wynik zapisać w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej.

***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[-6, \qquad 6 \left(\cos\left(\pi\right) + i\,\sin\left(\pi\right)\right), \qquad 6 e^{\pi\,i}\]
***********************************************************************************************