Szeregi Fouriera

Wskazówka

Binder <- interaktywna sesja notebooka

from random import choice

from IPython.display import display, Markdown, Latex

import generator_zadan.generatory as gz

print(gz.__version__)

0.2.10

ile_zadan_przykladowych = 10

zadanie = gz.szereg_Fouriera(
    typ_l=choice([0, 1, 2, 3, 4]),
    typ_p=choice([0, 1, 2, 3, 4]),
    bez_wykresu=True,
    tylko_koncowy=True)
Hide code cell source 
print("\033[34m** Zadanie **" + '*' * 81 + '\033[0m')
print(zadanie[0])
print("\033[34m*\033[0m" * 95)
print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
print(zadanie[1])
print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie ***********************************************************************************
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję 
	\[
		f(x)=\left\{\begin{matrix}
			\cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[-2,0\right)\\
			- \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[0,2\right)
		\end{matrix}\right.
	\]
o okresie zasadniczym $2T=4.$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.
***********************************************************************************************
** Rozwiązanie ********************************************************************************
$a_0=0,\quad a_n=0,\quad b_n=\frac{2 \pi n \left(\left(-1\right)^{n} \cos{\left(2 \right)} - 1\right)}{\pi^{2} n^{2} - 4},$\\
	$S(x) = \frac{2 \pi \left(-1 - \cos{\left(2 \right)}\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-4 + \pi^{2}} + \frac{4 \pi \left(-1 + \cos{\left(2 \right)}\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{-4 + 4 \pi^{2}} + \frac{6 \pi \left(-1 - \cos{\left(2 \right)}\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{-4 + 9 \pi^{2}} + \frac{8 \pi \left(-1 + \cos{\left(2 \right)}\right) \sin{\left(2 \pi x \right)}}{-4 + 16 \pi^{2}} + \frac{10 \pi \left(-1 - \cos{\left(2 \right)}\right) \sin{\left(\frac{5 \pi x}{2} \right)}}{-4 + 25 \pi^{2}} + \dots $\\
	\includegraphics[width = 224pt]{../pics/szereg_Fouriera_1_funkcja}
	\includegraphics[width = 224pt]{../pics/szereg_Fouriera_1_inf}

***********************************************************************************************
Hide code cell source 
for i in range(1, ile_zadan_przykladowych + 1):
    zadanie = gz.szereg_Fouriera(
        typ_l=choice([0, 1, 2, 3, 4]),
        typ_p=choice([0, 1, 2, 3, 4]),
        bez_wykresu=True,
        tylko_koncowy=True,
        nr_zadania=i)
    print(f"\033[34m** Zadanie {i} **" + '*' * 80 + '\033[0m')
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[0]))
    display(Latex('$$' + zadanie[0].split('\[')[1].split('\]')[0] + '$$'))
    display(Markdown(zadanie[0].split('\n')[7].replace('$', '$$')))
    print("\033[34m*\033[0m" * 95)
    print("\033[32m** Rozwiązanie **" + '*' * 78 + '\033[0m')
    display(Latex('$' + zadanie[1].split('$')[1] + '$'))
    display(Latex('$' + zadanie[1].split('$')[3] + '$'))
    display(Markdown(f'![](./pics//szereg_Fouriera_{i}_funkcja.png)'))
    display(Markdown(f'![](./pics//szereg_Fouriera_{i}_inf.png)'))
    print("\033[32m*\033[0m" * 95)

** Zadanie 1 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} - \sin{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left(- \frac{3 \pi}{2},0\right]\\ \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left(0,\frac{3 \pi}{2}\right] \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=3 \pi.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=0,\quad a_n=\frac{6 \left(\left(-1\right)^{n} - 1\right)}{\pi \left(4 n^{2} - 9\right)},\quad b_n=\frac{4 n \left(1 - \left(-1\right)^{n}\right)}{\pi \left(4 n^{2} - 9\right)},\]
\[S(x) = - \frac{8 \sin{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{5 \pi} + \frac{8 \sin{\left(2 x \right)}}{9 \pi} + \frac{12 \cos{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{5 \pi} - \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{9 \pi} + \dots \]

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** Zadanie 2 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} - x & \textnormal{ dla } & x\in\left[- \frac{\pi}{2},0\right)\\ - \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right) \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=\pi.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=\frac{2 \left(-1 + \frac{\pi^{2}}{8}\right)}{\pi},\quad a_n=\frac{2 \left(8 \left(-1\right)^{n} n^{2} - \left(-1\right)^{n} - 4 n^{2} + 1\right)}{\pi \left(16 n^{4} - 4 n^{2}\right)},\quad b_n=\frac{\left(-1\right)^{n} \pi \left(4 n^{2} - 1\right) - 8 n^{2}}{2 \pi n \left(4 n^{2} - 1\right)},\]
\[S(x) = \frac{\left(- 3 \pi - 8\right) \sin{\left(2 x \right)}}{6 \pi} + \frac{\left(-32 + 15 \pi\right) \sin{\left(4 x \right)}}{60 \pi} + \frac{\left(- 35 \pi - 72\right) \sin{\left(6 x \right)}}{210 \pi} - \frac{5 \cos{\left(2 x \right)}}{3 \pi} + \frac{2 \cos{\left(4 x \right)}}{15 \pi} - \frac{53 \cos{\left(6 x \right)}}{315 \pi} + \frac{-1 + \frac{\pi^{2}}{8}}{\pi} + \dots \]

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** Zadanie 3 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} - \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[-2,0\right)\\ \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[0,2\right) \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=4.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=0,\quad a_n=0,\quad b_n=\frac{2 \pi n \left(\left(-1\right)^{n + 1} \cos{\left(2 \right)} + 1\right)}{\pi^{2} n^{2} - 4},\]
\[S(x) = \frac{2 \pi \left(\cos{\left(2 \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-4 + \pi^{2}} + \frac{4 \pi \left(1 - \cos{\left(2 \right)}\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{-4 + 4 \pi^{2}} + \frac{6 \pi \left(\cos{\left(2 \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{-4 + 9 \pi^{2}} + \frac{8 \pi \left(1 - \cos{\left(2 \right)}\right) \sin{\left(2 \pi x \right)}}{-4 + 16 \pi^{2}} + \frac{10 \pi \left(\cos{\left(2 \right)} + 1\right) \sin{\left(\frac{5 \pi x}{2} \right)}}{-4 + 25 \pi^{2}} + \dots \]

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** Zadanie 4 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} 2 x - 2 & \textnormal{ dla } & x\in\left(-1,0\right]\\ - x^{2} & \textnormal{ dla } & x\in\left(0,1\right] \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=2.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=- \frac{10}{3},\quad a_n=\frac{2 \left(1 - 2 \left(-1\right)^{n}\right)}{\pi^{2} n^{2}},\quad b_n=\frac{- 2 \left(-1\right)^{n} + \pi^{2} n^{2} \left(2 - 3 \left(-1\right)^{n}\right) + 2}{\pi^{3} n^{3}},\]
\[S(x) = \frac{\left(4 + 5 \pi^{2}\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi^{3}} - \frac{\sin{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi} + \frac{\left(4 + 45 \pi^{2}\right) \sin{\left(3 \pi x \right)}}{27 \pi^{3}} + \frac{6 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} - \frac{\cos{\left(2 \pi x \right)}}{2 \pi^{2}} + \frac{2 \cos{\left(3 \pi x \right)}}{3 \pi^{2}} - \frac{5}{3} + \dots \]

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** Zadanie 5 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} - \sin{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left(- \pi,0\right)\\ \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[0,\pi\right] \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=2 \pi.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[\begin{split}a_0=\frac{2}{\pi},\quad a_n=\frac{\begin{cases} \frac{\left(-1\right)^{n + 1} - 1}{n^{2} - 1} & \text{for}\: n > 1 \\\frac{\pi}{2} & \text{otherwise} \end{cases}}{\pi},\quad b_n=\frac{\begin{cases} \frac{n \left(\left(-1\right)^{n} + 1\right)}{n^{2} - 1} & \text{for}\: n > 1 \\- \frac{\pi}{2} & \text{otherwise} \end{cases}}{\pi},\end{split}\]
\[S(x) = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{3 \pi} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{3 \pi} + \frac{1}{\pi} + \dots \]

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** Zadanie 6 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} - x^{2} & \textnormal{ dla } & x\in\left[-2,0\right)\\ 0 & \textnormal{ dla } & x\in\left[0,2\right) \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=4.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=- \frac{4}{3},\quad a_n=- \frac{8 \left(-1\right)^{n}}{\pi^{2} n^{2}},\quad b_n=\frac{4 \left(- \left(-1\right)^{n} \pi^{2} n^{2} + 2 \left(-1\right)^{n} - 2\right)}{\pi^{3} n^{3}},\]
\[S(x) = \frac{4 \left(-4 + \pi^{2}\right) \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi^{3}} - \frac{2 \sin{\left(\pi x \right)}}{\pi} + \frac{4 \left(-4 + 9 \pi^{2}\right) \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{27 \pi^{3}} + \frac{8 \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\pi^{2}} - \frac{2 \cos{\left(\pi x \right)}}{\pi^{2}} + \frac{8 \cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{9 \pi^{2}} - \frac{2}{3} + \dots \]

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** Zadanie 7 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} - \sin{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[-2,0\right]\\ 0 & \textnormal{ dla } & x\in\left(0,2\right) \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=4.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{2},\quad a_n=\frac{2 \left(\left(-1\right)^{n} \cos{\left(2 \right)} - 1\right)}{\pi^{2} n^{2} - 4},\quad b_n=\frac{\left(-1\right)^{n} \pi n \sin{\left(2 \right)}}{\pi^{2} n^{2} - 4},\]
\[S(x) = - \frac{\pi \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-4 + \pi^{2}} + \frac{2 \pi \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(\pi x \right)}}{-4 + 4 \pi^{2}} - \frac{3 \pi \sin{\left(2 \right)} \sin{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{-4 + 9 \pi^{2}} + \frac{2 \left(-1 - \cos{\left(2 \right)}\right) \cos{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{-4 + \pi^{2}} + \frac{2 \left(-1 + \cos{\left(2 \right)}\right) \cos{\left(\pi x \right)}}{-4 + 4 \pi^{2}} + \frac{2 \left(-1 - \cos{\left(2 \right)}\right) \cos{\left(\frac{3 \pi x}{2} \right)}}{-4 + 9 \pi^{2}} - \frac{\cos{\left(2 \right)}}{4} + \frac{1}{4} + \dots \]

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** Zadanie 8 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} 2 x - 1 & \textnormal{ dla } & x\in\left(- \frac{\pi}{2},0\right)\\ \sin{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=\pi.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=\frac{2 \left(- \frac{\pi^{2}}{4} - \frac{\pi}{2} + 1\right)}{\pi},\quad a_n=\frac{2 \left(- n^{2} + \frac{\left(1 - \left(-1\right)^{n}\right) \left(4 n^{2} - 1\right)}{2}\right)}{\pi n^{2} \left(4 n^{2} - 1\right)},\quad b_n=\frac{- 4 \left(-1\right)^{n} n^{2} + \left(4 n^{2} - 1\right) \left(- \left(-1\right)^{n} \pi - \left(-1\right)^{n} + 1\right)}{\pi n \left(4 n^{2} - 1\right)},\]
\[S(x) = \frac{\left(3 \pi + 10\right) \sin{\left(2 x \right)}}{3 \pi} + \frac{\left(- 15 \pi - 16\right) \sin{\left(4 x \right)}}{30 \pi} + \frac{\left(106 + 35 \pi\right) \sin{\left(6 x \right)}}{105 \pi} + \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{3 \pi} - \frac{2 \cos{\left(4 x \right)}}{15 \pi} + \frac{52 \cos{\left(6 x \right)}}{315 \pi} + \frac{- \frac{\pi^{2}}{4} - \frac{\pi}{2} + 1}{\pi} + \dots \]

***********************************************************************************************

** Zadanie 9 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} - \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left(-1,0\right]\\ \cos{\left(x \right)} & \textnormal{ dla } & x\in\left(0,1\right] \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=2.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=0,\quad a_n=0,\quad b_n=\frac{2 \pi n \left(\left(-1\right)^{n + 1} \cos{\left(1 \right)} + 1\right)}{\pi^{2} n^{2} - 1},\]
\[S(x) = \frac{2 \pi \left(\cos{\left(1 \right)} + 1\right) \sin{\left(\pi x \right)}}{-1 + \pi^{2}} + \frac{4 \pi \left(1 - \cos{\left(1 \right)}\right) \sin{\left(2 \pi x \right)}}{-1 + 4 \pi^{2}} + \frac{6 \pi \left(\cos{\left(1 \right)} + 1\right) \sin{\left(3 \pi x \right)}}{-1 + 9 \pi^{2}} + \frac{8 \pi \left(1 - \cos{\left(1 \right)}\right) \sin{\left(4 \pi x \right)}}{-1 + 16 \pi^{2}} + \frac{10 \pi \left(\cos{\left(1 \right)} + 1\right) \sin{\left(5 \pi x \right)}}{-1 + 25 \pi^{2}} + \dots \]

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** Zadanie 10 **********************************************************************************

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję

\[\begin{split} f(x)=\left\{\begin{matrix} -2 & \textnormal{ dla } & x\in\left(- \frac{\pi}{2},0\right)\\ 0 & \textnormal{ dla } & x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right] \end{matrix}\right. \end{split}\]

o okresie zasadniczym $$2T=\pi.$$ Naszkicować wykres funkcji, do której zbieżny jest uzyskany szereg.

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** Rozwiązanie ********************************************************************************
\[a_0=-2,\quad a_n=0,\quad b_n=\frac{2 \left(1 - \left(-1\right)^{n}\right)}{\pi n},\]
\[S(x) = \frac{4 \sin{\left(2 x \right)}}{\pi} + \frac{4 \sin{\left(6 x \right)}}{3 \pi} + \frac{4 \sin{\left(10 x \right)}}{5 \pi} - 1 + \dots \]

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